Многоканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности л и м соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна.

. (15).

Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:

(16).

где.

(17).

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

(18).

Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:

среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

(19).

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди).

L_S=L_q+с; (20).

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди:

(21).

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

(22).

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассоновский и имеет интенсивность л=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t_об=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

— вероятность состояний системы;

— среднее число заявок в очереди на обслуживание;

— среднее число находящихся в системе заявок;

— среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

— среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

Определим параметр потока обслуживаний.

Приведенная интенсивность потока заявок.

с=л/м=2,5/2,0=1,25,.

при этом л/м •с=2,5/2•3=0,41<1.

Поскольку л/м•с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

Вычислим вероятности состояний системы:

Вероятность отсутствия очереди у мастерской.

Р_отк?Р₀+Р₁+Р₂+Р₃?0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.

Среднее число заявок в очереди на обслуживание:

Среднее число находящихся в системе заявок.

L_s=L_q+=0,111+1,25=1,361.

Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание:

суток.

Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе):

суток [12].