Многоканальная система с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью л. Поток обслуживании имеет интенсивность м. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): So, S1, S2,…, Sk, … Sn, где Sk — состояние системы, когда в ней находится k заявок, т. е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке 5.

Рисунок 5 — Граф состояний гибели и размножения Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью л. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т. е. суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет 2 м. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсивность 3 м т. е. может освободиться любой из трех каналов и т. д.

В формуле (20) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния.

(27).

Где члены разложения …, будут представлять собой коэффициенты при p0 в выражениях для предельных вероятностей p1, р2, …, pk,…, pn. Величина.

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь.

(29).

(30).

Формулы (29) и (30) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т. е.

(31).

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:

(32).

Абсолютная пропускная способность:

(33).

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

(34).

где рk — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (29), (30).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы, А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем м заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов.

(35).

или, учитывая (33), (28):

(36).