Метод гиперплоскостей для построения выпуклой области

Метод гиперплоскостей заключается в последовательном включении каждой граничной точки в выпуклую оболочку и в исключении гиперплоскостей, оказавшихся внутри области.

Рис. 2.2. Множество допустимых точек

Вычислительная процедура построения области работоспособности по граничным точкам методом гиперплоскостей заключается в выполнении следующих операций.

1. Выбираются произвольным образом первые (N + I) граничные точки (на рис. 2.2 для N = 2 точки 1, 2, 3) и строятся по ним (N + 1) гиперплоскости (для N = 2 прямые 1−2, 2−3, 3−1). Для каждой построенной гиперплоскости запоминаются координаты граничных точек, по которым она построена, и координаты ее вершины.

Вершиной данной гиперплоскости условимся называть ту точку из выбранных (N + 1) точек, через которую не проводится гиперплоскость (на рис. 2.2 точки 1 и 2 являются соответственно вершинами гиперплоскостей 2−3 и 1−3).

2. Определяется для следующей, выбранной произвольно, граничной точки (точка 4) соответствующая ей генеральная прямая гиперплоскость (прямая 1−3). Генеральной гиперплоскостью данной граничной точки будем называть гиперплоскость, вершина которой и данная граничная точка расположены по разные от нее стороны.

Генеральных гиперплоскостей для данной граничной точки может быть несколько (для точки 5 прямые 1−4, 3−4), особенно при построении многомерных областей работоспособности. Поэтому поиск генеральной гиперплоскости осуществляется среди всех ранее построенных гиперплоскостей.

Отсутствие генеральной гиперплоскости для граничной точки означает, что точка находится внутри области, образованной ранее проведенными гиперплоскостями.

3. Выполняется п. 1 для данной граничной точки и точек, через которые была ранее проведена ее генеральная плоскость, найденная в п. 2. Затем в памяти ЭВМ стираются значения коэффициентов генеральной гиперплоскости, координаты ее вершины и точек, через которые она проведена. В противном случае область может быть построена неверно, так как генеральная гиперплоскость пересекает ее, а также может быть принята за генеральную гиперплоскость для последующих граничных точек.

Аналогичные действия выполняются для каждой генеральной гиперплоскости, если их для данной граничной точки несколько. При этом среди вновь проведенных гиперплоскостей будут одинаковые (на рис. 2.2 через точки 4 и 5 дважды проводится прямая 4−5), информация о которых должна стираться в памяти ЭВМ по тем же причинам, что и для генеральных гиперплоскостей.

4. Выбирается следующая по порядку граничная точка, и все повторяется с п. 2.

После перебора всех граничных точек процесс построения области работоспособности заканчивается и производится определение знаков «» «» для системы линейных неравенств).

Знаки неравенств «» и «» определяются в результате подстановки координат вершин гиперплоскости в уравнение гиперплоскости. При этом используется свойство вершин принадлежать области работоспособности. Символ «» соответствует отрицательному знаку результата подстановки, символ «» — положительному. Для удобства использования результатов построения области работоспособности все неравенства приводятся к виду «0».