Случайные процессы. 
Марковские процессы

Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система — станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т. д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры: 1. Система S — технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен. [10].

2. Система S — самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы — метеоусловия, ошибки экипажа и т. д., последствия — «болтанка», нарушение графика полетов и т. д.

Пример. Система S — группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x — количество «красных» самолетов, y — количество «синих» самолетов. К моменту времени t₀ количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно — x₀, y₀. Нас интересует вероятность того, что в момент времени t₀+ 1 численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t₀, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t₀ самолеты.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. [11].

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Схема возможных состояний системы и возможных переходов из состояния в состояние показана на рисунке 2 (такая схема называется графом состояний).

Построить граф состояний следующего случайного процесса:

устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: S₀ — оба узла исправны; S₁ — первый узел ремонтируется, второй исправен; S₂ — второй узел ремонтируется, первый исправен; S₃ — оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 15.1.

Процессы гибели и размножения

В теории массового обслуживания широко распространен специальный класс случайных процессов — так называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения численности биологических популяций. [8].

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рисунке 7.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S₀, S₁,…, S_n. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т. е. из состояния S_k возможны переходы либо в состояние S_{k ?1}, либо в состояние S_{k +1} [14].