Для функции, заданной на положительной полуоси, определим интегральные преобразования.
(1.1).
(1.2).
В случае, когда м = 0 или д = 0, будем обозначать,. Если преобразования и применяются к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижних индексов будем обозначать переменную, по которой проводится преобразование. Например,.
Интеграл (1.1) будет сходиться, если функцияинтегрируема на любом конечном отрезке положительной полуоси и выполняются асимптотические неравенства.
(1.3).
Для сходимости (1.2) достаточно выполнения неравенств.
(1.4).
где и — положительные постоянные.
Далее будем считать, что функции, к которым мы будем применять преобразования (1.1) и (1.2), интегрируемы на любом конечном отрезке положительной полуоси и удовлетворяют условиям (1.3) для преобразования (1.1) и условиям (1.4) для преобразования (1.2).
Свойства преобразований. Общие свойства
Свойство 1. Справедливы соотношения.
(2.1).
Из определений (1.1) и (1.2) следует (2.1).
Свойство 2. Пусть интегралы.
существуют и конечны. Тогда.
.(2.2).
Соотношение (2.2) следует из (1.1) и (1.2) и доказывается с помощью изменения порядка интегрирования.
Отсюда, в частности, следует, что.
