Теоретическое обоснование решения задачи

Постановка задачи аппроксимации

Замена одной функции другой более простой и удобной для дальнейшей работы функцией называется аппроксимацией функции, или просто приближением функции.

Чаще всего задача аппроксимации решается с помощью многочленов. Кроме того, для аппроксимации используются ряды Фурье, экспоненциальные, логарифмические, степенные и другие элементарные функции.

Частным случаем аппроксимации является интерполяция.

Функция называется интерполирующей или интерполяционной для на, если ее значения, ,…, в заданных точках, называемых узлами интерполяции, совпадают с заданными значениями функции .

Геометрически факт интерполирования означает, что график функции проходит так, что, по меньшей мере, в заданных точках он пересекает или касается графика функции. Легко представить, что таких графиков множество.

Интерполяционная функция будет единственной для функции, заданной в (n+1) точке, если в качестве выбрать многочлен степени, такой что:

(2.1).

Определение. Многочлен, отвечающий вышеназванным условиям, называется интерполяционным многочленом.

Пусть многочлен представлен в виде.

(2.2).

т.е.,.

он является линейной комбинацией некоторых базисных функций с коэффициентами с,…, с, которые находятся в зависимости от вида приближения. Многочлен Фm (х) называют обобщенным многочленом по системе функций 0(х), 1(х), …, m (х), а число m — его степенью.

Для оценки точности приближения функций используют различные критерии согласия, основанные на использовании различных способов введения расстояния между функциями.

Так, для функций, ограниченных на, можно использовать метрику:

Для функций непрерывных на, расстояние можно рассчитать по формулам:

и др.	(2.5).

Для функций, заданных таблично можно использовать формулу Чебышева:

.	(2.6).

В нашем случае функция задана таблично, поэтому нужно использовать формулу Чебышева.

Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием:

.	(2.7).

на его основе создан способ аппроксимации, называемый методом наименьших квадратов.