Оценка устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова

Характеристическое уравнение замкнутой системы.

Составим характеристическое уравнение передаточной функции замкнутой САУ.

D (s)=0.0015s4+0.0545s3+0.465s2+s+2.1.

САУ устойчива, если при изменении частоты w от 0 до +?, начав движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов, повернувшись угол n*(р/2), где n — степень характеристического уравнения.

В системе Matlab построим годограф Михайлова.

Текст программы

num=[0.0015 0.0545 0.465 1 2.1];

den=[1];

w=0.0001:0.01:10;

apk=freqs (num, den, w);

u=real (apk);

v=imag (apk);

plot (u, v);grid.

Рисунок 4. Годограф Мехайлова

Видно, что система устойчива, так как при изменении частоты w от 0 до +?, начав движение из точки, лежащей на положительной вещественной полуоси, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов, повернувшись угол 4*(р/2).

Оценка устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста

Устойчивость замкнутой системы определяем по АФХ разомкнутой. Сначала определим устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица. Определим характеристическое уравнение разомкнутой системы:

D (s)= 0.0015s4+0.0545s3+0.465s2+s.

Составим определитель Гурвица.

Так как последний определитель равен 0, то разомкнутая система находиться на границе устойчивости, и при построении графика его необходимо дополнить дугой до положительной вещественной полуоси .И для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1;j0).

Характеристическое уравнение разомкнутой системы Текст программы :

num=[2.1];

den=[0.0015 0.0545 0.465 1 0];

w=1:0.1:30;

APK=freqs (num, den, w).

u=real (APK);

v=imag (APK);t=0:pi/100:2*pi;

x=sin (t);

y=cos (t);

plot (u, v, x, y);grid.

Рисунок 5. АФХ разомкнутой системы

Замкнутая система устойчивая т.к. разомкнутая система не охватывает точку -1,j0.