Индуктивность трубчатого проводника

Наличие трёх областей, в которых магнитное поле распределено по разным законам, указывает на то, что индуктивность прямолинейного трубчатого тока также складывается из двух частей. Первая часть индуктивности, определяемая областью II, является токовой. Вторая часть индуктивности, связанная с магнитным потоком во внешней области, — потоковая.

Вычисляя потоки в соответствующих областях, получим:

— в области II.

; (28).

— в области III.

. (29).

В (29) по аналогии с (18) введено обозначение — приведённый радиус обрезания магнитного поля в области III.

Вычисляем соответствующие потокам погонные индуктивности:

— токовая индуктивность.

; (30).

— потоковая индуктивность.

. (31).

Полная индуктивность единицы длины трубчатого проводника имеет вид.

. (32).

Графики зависимости приведённой погонной токовой индуктивности (30) трубчатого проводника от приведённого радиуса полости о₁ приведены на рис. 5. Из графика видно, что при малых значениях приведённого радиуса полости о₁ её значение совпадает со значением (17), полученным для круглого проводника. Поскольку функция (30) не может быть разложена в ряд по малому параметру о_1, то для этой области малых значений занесём значения приведённой индуктивности с точностью до пятого знака после запятой в табл. 1.

Таблица № 1.

Значения токовой индуктивности для малых значений приведённого радиуса полости.

Введём параметр толщины стенки трубчатого проводника.

. (33).

Для проводника с тонкой стенкой (реализуются малые значения приведённой толщины трубки) значения индуктивности можно вычислять из ряда по t, который быстро сходится:

. (34).

Рис. 5 Зависимость погонной токовой индуктивности от радиуса полости

Из соотношения (34) видно, что значение токовой индуктивности становится линейной функцией приведённой толщины трубки при выполнении условия. Отсюда следует: чем меньше толщина трубчатого проводника, тем меньше значение его погонной токовой индуктивности.

. (35).

Как следует из (32), полная погонная индуктивность трубчатого проводника также имеет логарифмическую расходимость по параметру обрезания поля. И в этом случае, точное значение параметра обрезания и его зависимость от радиуса и длины проводника ждёт своего экспериментального определения.

Добротность индуктивности цилиндрического проводника Теоретическое значение индуктивности (32) следует считать индуктивностью на постоянном токе. Она остаётся неизменной для переменного тока в той области частот, когда фазовый сдвиг между током и потоком равен нулю. Для этой области частот такая индуктивность не зависит от частоты.

Рассчитаем зависимость добротности индуктивности от частоты и определим интервал частот, в котором она имеет приемлемые значения.

(36).

Где.

(37).

омическое сопротивление участка трубчатого проводника длиной l, с — удельное сопротивление проводника. Подставляя (37) в (36), получим.

(38).

где — масштаб характеристической частоты.

. (39).

Как видно из (38), добротность полной индуктивности цилиндрического проводника не зависит от длины проводника, но зависит от частоты, приведённого радиуса полости и имеет логарифмическую расходимость по параметру обрезания поля при .

Нижняя характеристическая частота следует из (38) при Q=1.

. (40).

Добротность токовой индуктивности также зависит от частоты и приведённого радиуса полости о₁:

. (41).

Нижняя характеристическая частота токовой индуктивности имеет вид.

. (42).

Как видно из (42), она, для одинаковых трубчатых проводников, будет тем выше, чем больше её удельное сопротивление.

Оценим добротность и нижнюю характеристическую частоту токовой индуктивности для круглого полого цилиндрического проводника со следующими параметрами: внешний радиус 5 мкм, удельное сопротивление 16 нОм· м (медь), радиус полости 1 мкм. Из оценки следует, что добротность токовой индуктивности из меди будет больше единицы для частот 0,38 Ггц, что по порядку величины сходится со значением нижней характеристической частоты для медного кольца в [1]. Для полого проводника с о₁=0,5 значение нижней характеристической частоты увеличивается в 2 раза.

Оценим границу применимости полученных результатов на высоких частотах. Её можно получить, исследуя времена установления неоднородных магнитных полей в трубчатом проводнике. Будем считать, что эти времена связаны со скоростью передачи электромагнитных взаимодействий скоростью света. Тогда характерное время установления, где R — внешний радиус проводника, даёт значение верхней характеристической частоты. Вычисленное её значение для проводника радиусом 5 мкм получается 6010¹² Гц. На современном этапе развития интегральных технологий эти частоты пока не достигнуты.