Математическое планирование эксперимента

Для установленных факторов Х_i, определяются из анализа априорных сведений численные их значения, а также их уровни варьирования, при которых обеспечивается нормальное функционирование объекта.

Интервалы варьирования факторов выбирают так, чтобы приращение величины функции отклика Y (показателя) к базовому ее значению Y₀ при проведении эксперимента можно было выделить и измерить при небольшом числе параллельных опытов.

Основой для выбора плана эксперимента осуществляется исходя из априорного анализа влияния варьируемых факторов на показатели. Количество факторов Х_i принятых в исследовании, их влияние на показатель функционирования Y объекта и другие данные позволяют осуществить выбор плана эксперимента.

Рис. 2. Системная модель объекта исследования

Так при линейной зависимости показателя Y от факторов Х (рис.2) принимаем план полного факторного эксперимента (ПФЭ), а при нелинейной зависимости — может быть принят план дробного факторного эксперимента (ДФЭ).

Для применения полного или дробного факторного экспериментов требуется выполнение некоторых условий:

• 1) Результаты наблюдений значений исследуемых показателей (функций) Y в N вариантах сочетаний варьируемых факторов X_i являются независимыми нормально распределенными случайными величинами, т. е. на них воздействуют нормально распределенные случайные воздействия в (рис. 2).
• 2) Дисперсии результатов значений показателей Y в эксперименте должны быть равны, что будет указывать на то, что получаемые при проведении многократных опытов над величиной Y в заданных точках эксперимента выборочные оценки дисперсий однородны, т. е. не имеют отличий от дисперсии, полученной при повторных наблюдениях в любой другом опыте эксперимента (воспроизводимость опытов производится с равной точностью).
• 3) По сравнению с принятой ошибкой в определении показателей Y варьируемые факторы X измеряются с пренебрежимо малыми ошибками.

Статистические методы математического планирования эксперимента являются одним из способов получения математической зависимости показателя (критерия) функционирования объекта Y от независимых варьируемых входных переменных (факторов) [1, 4, 5].

По результатам эксперимента можно установить параметры уравнения регрессии:

(1).

где выборочные коэффициенты регрессии.

Для определения линейных и неполных степенных математических зависимостей (1) может быть применен полный факторный или дробный факторный эксперименты, обладающие ортогональной матрицей планирования. Для математического описания функции отклика Y объекта при выполнении эксперимента были заданы варьируемые факторы X_i на верхнем и нижнем уровнях, имеющих на величину интервала варьирования отличие от базового уровня X_i0.

Обработка результатов эксперимента устанавливается в зависимости от вида математического планирования эксперимента.