Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки

Исследованы поперечные колебания балок постоянного сечения с учётом демпфирования. Рассмотрены случайные колебания балки под действием векторных кинематических и динамических воздействий. На примерах показаны влияние коэффициентов корреляции на среднеквадратические отклонения сечений балки. Определены внутренние силы в виде изгибающих моментов и поперечных сил. Приведён пример действия случайного процесса со скрытой периодичностью.

Ключевые слова: балка, демпфирование, прогиб, изгибающий момент, поперечная сила, случайный процесс, спектральная матрица, корреляция, вектор, матрица, передаточная функция.

Балки и колонны в виде стержней постоянного сечения самые распространённые конструктивные несущие элементы, применяемые в строительстве и в других областях. Многие внешние воздействия имеют случайный характер [1], [2], [3]. Эти действия могут быть динамическими, кинематическими [4] и комбинированными [5]. Действие таких нагрузок, в виде случайного процесса со скрытой периодичностью, исследовалось автором в статье [6]. Этим вопросам посвящались и работы зарубежных [7−9] и отечественных авторов [10], [11].

В данной работе автор рассматривает одновременное действие таких нагрузок. Причём учитывается их матрица коэффициентов корреляции, с помощью которого можно регулировать их «синфазность». Получены формулы для определения перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил. колебание балка демпфирование сечение Вынужденные случайные колебания.

Установившиеся колебания балкис шарнирно опертыми концами (рис.1) в общей постановке имеет вид.

х,t> - .

(0, t) = f₃(t). t) = (l, t) = f₅(t).

Допустим на балку действует возмущение, которое является случайным стационарным и векторным.

f(x, t) = {f₁(t), f₂(t), f₃(t), f₄(t), f₅(t) },.

где компоненты являются стационарно связанными, математическим ожиданием равным нулю и с заданной спектральной матрицей.

и являющуюся эрмитовой, и в результате чегоs_ij() =.

В установившемся режимецентрировано пространственно-временное случайное поле, стационарное во времени и неоднородное в пространственной координате. Далее ставится задача имея спектральную матрицу входного случайного процесса необходимо определить спектральную плотность и дисперсию выходного процесса. Функция математического ожидания перемещений сеченийбалки по заданному вектору математических ожиданий возмущенийm_f(x) = { m₁, m₂, m₃, m₄, m₅ } является традиционной.

Для этого используем передаточные функции.

H_j(x, i_j), j = 1, 2, …, 5.

Спектральная плотность случайного процесса колебаний вычисляется по следующей формуле.

.

В векторно-матричной форме.

где H(x, iщ) — вектор-столбец.

Теперь дисперсия отклонений определяется по известному соотношению.

И учитывая чётностьS_u, можно сократить вычисления

Введём вектор

X= { x₁, x₂, …, x_n }, x_j = (j-1)Дx, j = 1, 2, …, n,.

— шаг разбивки. ВекторXустанавливается в соответствии со значением функции спектральной плотности.

S_u(x_j,) = H^T(x_j, i) S_f() H^*(x_j, i), j = 1, 2, …

определяемой формулой (2). Здесь.

— вектор-столбец передаточных функций.

Введём норму для функции, учитывая то, что спектральная плотность является положительной величиной, её запишем в виде.

. (4).

Постепенно увеличивая щ норма (4) будет уменьшаться. Тогда с большим шагом увеличивая щ, можно найти её наименьшее значение Щ, которое удовлетворяет условию.

.

где м — малое положительное число, от которого зависит точность вычислений.

Пример. Возьмём стальную балку сечением двутавр № 14,l = 6 м, с = 7850 кг/ м³, E = 210 ГПа, S = 17, 4 см^2,J = 573 см⁴, е = 0.9c^-1.

Векторный процесс возмущения примем стационарным со стационарно связанными компонентами и скрытой периодичностью. Элементы матрицы (1) примут вид.

Здесь _jk— параметр широкополосности, _jk-=— характерная частота, _jk— элементы нормированной корреляционной матрицы, _j— среднеквадратические отклонения процессов f_j(t).

у_q = 760 Н/м, у₂ = 5 мм, у₃ = 1800 Нм, у₄ = 9 мм, у₅ = 950 Нм.

в_jk = 2 с^-1 (кривая 1), 35 с^-1 (2), 46 с^-1 (3), 310 с^-1 (4), 620 с^-1 (5);

j, k = 1, 2,…, 5.

Нумерация кривых указана по рис. 3, где приводятся результаты вычислений. Параметры широкополосности примем б_jk = 0.9 с^-1, j, k = 1, 2, …5.

Элементы нормированной корреляционной матрицы приравняем к единице со знаками, которые учитывают направления.

Наивысший предел и минимальный шаг интегрирования определяется по методу, описанному выше. График нормы спектральной плотности (4) примет вид, показанный на рис 2 при следующих частотах.

в_jk = 210 с^-1, j, k = 1, 2, …, 5.

Как видно по графику максимумы собственных частот 319,4 с^-1 и 716,5 и далее практически неразличимы. Для построения графика использована функция десятичного логарифма. Максимумы на первой собственной частоте 79,6 с^-1 и характерной частоте возмущений 210 с^-1существенно больше, чем на обертонах. Поэтому большое значение будет иметь интегрирование в области, находящихся близко к указанным частотам. Предел интегрирования Щ можно принят равным 500 с^-1. Шаг интегрирования при этом был равным 0,05 с^-1.

Для изучения влияния коррелированности случайных возмущений промоделируем с помощью пяти соответствующих нормированных корреляционных матриц.

Проведём вычисления при фиксированных значениях характерных частот в_jk = 10 c^-1, j, k = 1, 2, 3.

Результаты представлены на рис. 4, где номера кривых соответствуют номерам корреляционных матриц. Нормированная корреляционная матрица в случайных колебаниях играет ту же роль, что и сдвиги фаз возмущений в гармонических колебаниях.

Максимум и шаг интегрирования, следующие Щ = 510 с^-1, Дщ = 0,10 с^-1.

Внутренние силы в поперечных сечениях

Для анализа прочности балки необходимо знать величину изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях балки. Как известно, у балки между прогибами и внутренними силами существуют соотношения.

(5).

Через функции u (x, t) можно найти внутренние силы.

При гармонических возмущениях общая формула определения перемещений имеет вид произведения векторов.

u(x, t) = [A, v(x, t)] = A^Tv(x, t).

Применение операций (4) даёт.

Здесь А и v — ранее принятые обозначения для векторов комплексных амплитуд возмущений и функций перемещений. Последние, в свою очередь, определяются через передаточные функции.

v_k(x, t) = H_k(x, iЩ₁), k = 1, 2, …, 5.

Следовательно,.

k = 1, 2, …, 5. (7).

Передаточные функции изгибающего момента и поперечной силы.

(x, i₁) = (x, i₁) = b²(-C₁ sinbx — C₂ cosbx + C₃ shbx + C₄ chbx). (8).

(x, i₁) = (x, i₁) = b³(-C₁ cosbx + C₂ sinbx + C₃ chbx + C₄ shbx). (9).

Производные других передаточных функций находятся аналогично.

(x, i₂) = (x, i₂) = b² [-C₁ sinb(l-x)+ C₃ shb(l-x)], (10).

• (x, i₂) = (x, i₂) = b³ [C₁ cosb(l-x) — C₃ ch b(l-x)], (11)
• (x, i₃) = (x, i₃) = b² [-C₁ sinb(l-x)+ C₃ sh b(l-x)], (12)
• (x, i₃) = (x, i₃) = b³ [C₁ cosb(l-x) — C₃ ch b(l-x)], (13)
• (x, i₄) = (x, i₄) = b² (-C₁ sinbx+ C₃ shbx), (14)
• (x, i₄) = (x, i₄) = b³ (-C₁ cosbx +C₃ chbx), (15)
• (x, i₅) = (x, i₅) = b² (-C₁ sinbx+ C₃ shbx), (16)
• (x, i₅) = (x, i₅) = b³ (-C₁ cosbx +C₃ chbx). (17)

Для случайных колебаний задача сводится к определению спектральной плотности, а затем и дисперсии внутренних сил по заданной спектральной матрице возмущений. Соотношения между спектральными плотностями внутренних сил и возмущений аналогичны (2).

Соответствующие дисперсии определяются с помощью интегралов.

Интегрирование в (18) проведем численным методом по алгоритмам, которые применяются для вычисления дисперсии перемещений.

По известным характеристикам прогибов и внутренних сил, можно определить характеристики нормальных и касательных напряжений при помощи линейных отображений. По известным методам решаем вопросы прочности, выносливости и жёсткости балки.

Пример. Для выполнения вычислений возьмём ту же стальную балку из двутавра № 14 со свободно опертыми концами, которая рассмотрена выше, и имеет параметры l = 6 м, с = 7850 кг/ м³, E = 210 ГПа, S = 17, 4 см^2,J = 573 см⁴, е = 1 c^-1, в_jk = 16 с^-1 (2), у_q =800 Н/м, у₂ = 6 мм, у₃ = 2500 Нм, у₄ = 9 мм, у₅ = 2000 Нм.

С использованием полученных формул проведены вычисления и построены эпюры амплитуд и среднеквадратических отклонений, показанные графиками рис. 5. Анализ форм этих кривых подтверждает зависимости между u, M и Q, хорошо известные из курса сопротивления материалов.

• 1. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.335 с.
• 2. Вентцель Е. С. Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.
• 3. Вольмир А. С., Культербаев Х. П. Стохастическая устойчивость вынужденных нелинейных колебаний оболочек. ПММ.1974.Т.38, вып.5. С. 893−898.
• 4. Культербаев Х. П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок. Инженерно-технические науки. Материалы научно-практической конференции 1994. Нальчик: Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1995.Ч. 3. С. 23−27.
• 5. Культербаев Х. П., Казиев А. М., О случайных колебаниях растянутых балок. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: Сам. гос. тех. ун-т. 2003. С. 100−103.
• 6. Казиев А. М., О влиянии характерной частоты и широкополосности случайной нагрузки на колебания балок. Вопросы повышения эффективности строительства. Межвузовский сборник. Нальчик: КБГСХА, 2004. Вып. 2. С. 79−83.
• 7. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. № 2. рр. 259−270.
• 8. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam. J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213−228.
• 9. Simion F.P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions. Sci. Bull. D. «Politehn.» Univ. Bucharest., 1998.№ 1. рр. 55−59.
• 10. Хуранов В. Х., Лихов З. Р., Казиев А. М., Шерибов Ш. М. Железобетонные ребристые плиты покрытий с переменным усилием преднапряжения вдоль пролета // Инженерный вестник Дона, 2015, № 2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2015/2893.
• 11. Шогенов Б. В., Ногеров И. А., Казиев А. М. К вопросу о снижении шума в зубчато-ременных передачах // Инженерный вестник Дона, 2015, № 3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2015/3269.