Случайные величины. 
Информатика и математика

В результате освоения данной темы студент должен:

знать

• • основные понятия случайных величин;
• • характеристики случайных величин;

уметь

• • проводить расчеты с использованием дискретных и непрерывных случайных величин;
• • строить графики функции распределения дискретных и непрерывных случайных величин;

владеть

• • методикой проведения расчетов при решении специальных задач юриспруденции;
• • навыками анализа и реферирования научной литературы по данной теме.

Случайной называется величина, которая в зависимости от случая может принимать те или иные числовые значения с некоторой вероятностью.

Будем обозначать случайные величины заглавными последними буквами латинского алфавита X, Y, Z, Х_ь Х₂, …, а принимаемые ими значения — соответствующими малыми буквами х_уу, z, х_ь х₂, … .

Пример 6.1.

Примеры случайных величин:

• — количество деталей высокого качества, сошедших с конвейера в течение часа;
• — результат измерения некоторой физической величины;
• — число преступлений, совершенных в районе за месяц;
• — число заключенных, находящихся в данный момент в камере предварительного заключения;
• — число студентов группы юридического факультета, явившихся на занятие по математике;
• — число зерен в случайно взятом пшеничном колосе и т. д. ?

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины

Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счетное число значений.

Ограничимся рассмотрением только конечнозначных случайных величин. Чтобы задать такую случайную величину, необходимо указать, какие значения она может принимать и как часто она принимает эти значения.

Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Чаще всего дискретную случайную величину X задают в виде таблицы (табл. 6.1), в первой строке которой указывают возможные ее значения х, (как правило, в возрастающем порядке), а во второй строке — вероятности, с которыми случайная величина X принимает эти значения. Эта таблица называется рядом распределения случайной величины X.

Таблица 6.1

Ряд распределения.

Для ряда распределения выполняется условие нормировки.

Если в прямоугольной системе координат по оси абсцисс отложить значения, а по оси ординат — вероятности р, и нанести точки с координатами (х" р₍), а затем соединить соседние по абсциссе точки отрезками прямой, то получится ломаная линия, называемая полигоном (многоугольником) распределения случайной величиныX (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Полигон распределения случайной величины

При этом сумма всех ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а следовательно, равна единице.

Пример 6.2.

Обнаружение органами правопорядка угнанного автомобиля определяется вероятностью 0,6. Пусть X — случайная величина — число найденных автомобилей из пяти угнанных. Найти ряд распределениях. Вычислить вероятность, что обнаружат три и более автомобилей; обнаружат не менее двух и не более четырех автомобилей.

Решение. Из условия задачи ясно, что случайная величина X может принимать значения 0,1, 2, 3, 4, 5, и ее ряд распределения определяется вероятностями.

Вычислим эти вероятности.

В задаче можно считать, что имеется схема испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = 0,6. Тогда по формуле Бернулли.

При п = 5, р = 0,6, q = 0,4 получим.

вероятность того, что не обнаружат ни одного автомобиля из пяти.

Аналогично вычисляем:

р_х 5 = 0,08 — вероятность того, что обнаружат один автомобиль;

Рг, s ⁼ 0>23; Рз^ 5 — 0,34; р_{4 5} = 0,26; р_{5 5} = 0,08.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид.

Из ряда распределения легко вычислить вероятность того, что обнаружат три и более автомобилей.

обнаружат не менее двух и не более четырех автомобилей Р (х/ е [2; 4]) =р₂ 5 + Рз 5 + р₄ 5 = 0,23 + 0,34 + 0,26 = 0,83. ?

Построить ряд распределения случайной величины во многих случаях довольно сложно, да и не всегда это нужно. Для решения многих задач достаточно знать числовые характеристики дискретных случайных величин.

К основным характеристикам относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Рассмотрим их.

Математическим ожиданием MX дискретной случайной величины X называется сумма.

и имеет смысл среднего значения случайной величины. Значения x_i9 р₍ берутся из ряда распределения.

Если число значений случайной величины конечно и равно п,

а вероятности р_п = —, то MX совпадает с обычным средним значением.

п

величин х_ь х₂, х_п. Тогда.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

• 1. МС = С, где С = const.
• 2. М (СХ) = С • MX, где С = const.
• 3. М (Х± У) =МХ±МУ, для любыхХи У.
• 4. М (ХУ) = MX • МУ, если X и У независимы.

Две или несколько случайных величин называются независимыми, если вероятности принятия каких-либо значений каждой из них не зависят от того, какие значения приняли остальные случайные величины.

Для оценки степени рассеивания значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится понятие дисперсии, которая является характеристикой разброса этих значений.

Дисперсией DX называется математическое ожидание квадрата разности X — MX.

Для дискретной случайной величины.

Однако на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, так как при большом количестве значений случайной величины приводит к громоздким вычислениям.

Поэтому на практике для вычисления дисперсии обычно используют более удобную формулу.

где.

Свойства дисперсии.

• 1. DC = О, где С = const.
• 2. D (00 = С²DX, где С = const.
• 3. D (X ±Y) = DX + DY, еслиХ и Y независимы.

Основным недостатком дисперсии как характеристики разброса значений случайной величины является то, что ее размерность не совпадает с размерностью самой случайной величины. Поэтому используют еще одну характеристику разброса значений случайной величины X вокруг среднего значения — среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением называется величина.

которая также является мерой рассеивания значений случайной величины X.

Пример 6.3.

Пусть задан ряд распределения случайной величины X

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение. Вычислим математическое ожидание.

Для вычисления дисперсии сначала найдем.

По формуле находим Тогда аХ = 7²² s 1,1. ?