Оценка апостериорной погрешности

Мы записывали априорные оценки главного члена погрешности в виде.

R0 = Ahp, (1).

где A — коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подинтегральной функции; h — шаг интегрирования, p — порядок метода. Такого сорта оценку можно применить не только к методам интегрирования, но и ко многим другим численным алгоритмам.

Первая формула Рунге.

Пусть w — точное значение, к которому должен прийти численный метод (мы его не знаем). Результат численного расчета дает нам величину wh такую, что.

. (2).

Теперь вычислим ту же величину w с шагом kh, где константа k может быть как больше, так и меньше единицы. Коэффициент A будет одинаковый, так как вычисление осуществляется одним и тем же методом. Получаем.

. (3).

Приравняем правые части выражений (2) и (3) и пренебрежем бесконечно малыми величинами одинакового порядка малости.

Отсюда, учитывая (1), получим. (4) Эта формула, выражающая апостериорную оценку главного члена погрешности величины w путем двойного просчета с разным шагом, носит название первой формулы Рунге. При уменьшении шага главный член погрешности будет стремиться к полной погрешности R.

Вторая формула Рунге Так как модуль и знак апостериорной погрешности из формулы (4) известны, можно уточнить искомое значение. Это вторая формула Рунге. Однако теперь погрешность wcorr не определена, известно лишь, что она по модулю меньше R0.

Алгоритм Эйткена Способ оценки погрешности для случая, когда порядок метода p неизвестен. Более того, алгоритм позволяет опытным путем определить и порядок метода. Для этого в третий раз вычислим значение величины w с шагом k2h:

. (5).

Приравняем правые части выражений (5) и (3):. Отсюда:

Подставим сюда значение R0 из (4):

Из этой формулы определяем знаменатель для (4). Кроме того, определяем порядок. Для правильно реализованных алгоритмов методов априорных и апостериорных порядки должны получиться совпадающими. Программная реализация формул Рунге позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется автоматически. Пример — уже рассмотренная ранее формула Ромберга.