Теория дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением

Теория дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями восходит к задачам классической механики, где впервые изучались механические системы с сухим трением в работах П. Пэнлеве [82], П. Аппеля [4], [5]. Такими уравнениями в настоящее время описывается большое число задач в теории колебаний (A.A. Андронов, A.A. Витт, С. Э. Хайкин [2]), в теории автоматического управления (В.И. Уткин [57]), для систем с переменной структурой [56], в теории устойчивости (Е.А. Барба-шин [7], H.H. Красовский [19], В. М. Матросов [23], [80], А. Х. Гелиг, Г. А. Леонов, В. А. Якубович [11]).

Систематическое изложение различных вопросов теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями и обзоры имеются в статьях В. М. Матросова [25], М. А. Айзермана, Е. С. Пятницкого [1], в книге А. Ф. Филиппова [58].

Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями могут возникать, как в результате предельных переходов при идеализации каких-либо характеристик уравнений, описывающих реальную систему, так и в случаях, когда физические законы выражаются разрывными функциями.

Математические модели механических систем с кулоновым трением имеют свою специфику и представляют собой системы дифференциальных уравнений, правые части которых являются функциями, разрывными относительно обощенных скоростей. Уравнения движения должны быть определены всюду в рассматриваемой области, в том числе — ив точках разрыва правых частей. Доопределение правых частей осуществляется с учетом физического смысла и природы изучаемой механической или иной системы. Но при этом возникают требования и математического характера: по-крайней мере существование локальных решений для любых начальных состояний, продолжимость и непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров системы. Это безусловно подкрепляет адекватность построенной математической модели реальному физическому процессу и необходимо для исследования динамических свойств движений системы.

Многие трудности, возникающие в общей теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, связаны с необходимостью осуществления предельных переходов для последовательностей приближенных и точных решений таких уравнений и часто преодолеваются при помощи выпуклого многозначного доопределения правых частей дифференциальных уравнений в точках разрыва (см. [58]). В этом случае используются результаты и методы теории дифференциальных включений, хорошо разработанной к настоящему времени. Но при таком подходе может реализоваться слишком грубая математическая модель реального физического процесса, а решения понимаются в смысле Каратеодо-ри, которые являются дифференцируемыми почти всюду. Решения Каратеодори теряют дифференцируемость именно на поверхности (или пересечении поверхностей) разрыва правых частей уравнений, т. е. в тех точках, которые несут наибольшую информацию о поведении изучаемой физической или иной системы, обусловленную спецификой задачи. С этой точки зрения более содержательным и естественным по смыслу во многих прикладных задачах, в частности, для задач механики систем с трением скольжения, является понятие правостороннего решения, а точный учет физических законов или иных соображений, связанных с природой изучаемой системы, может привести к дифференциальным уравнениям с разрывной правой частью, однозначно определенной в точках разрыва. Для таких уравнений доказательство существования решений значительно сложнее, а условия существования решений имеют не только теоретический интерес, так как они могут представлять собой какие-либо оценки параметров системы, для которых построенная математическая модель описывает реальный физический процесс. Так, в классической механике систем с трением скольжения условия существования правосторонних решений (ускорения понимаются, по существу, как правые производные скорости) уравнений динамики могут представлять собой неравенства, связывающие коэффициенты трения и инерции, в рамках которых обосновывается применимость законов Кулона.

Законы Кулона определения сил сухого трения оправдывают себя для многих механических систем и используются для описания движений различных механизмов и устройств (см., например, [21], [12], [17]).

Но сила трения в реальных механических системах возникает в результате сложных и разнообразных явлений и зависит от многих факторов (свойства материалов скользящих поверхностей, скорость скольжения, температура и др.). Законы трения основаны на экспериментальных данных. Использование их в теоретических исследованиях может привести к пародоксальным ситуациям.

В 1895 году П. Пэнлеве [82] привел пример, когда уравнения движения, составленные с использованием законов Кулона и гипотезы существования абсолютно твердых тел, для определенных начальных состояний либо определяли сразу два движения, либо не определяли ни одного движения. Эти явления, получившие названия парадоксов П. Пэнлеве, явились причиной дисскус-сии, теоретических и экспериментальных исследований, которые продолжаются и по сей день.

Общая теория систем с трением была создана П. Пэнлеве [82]. Сформировались два основных направления ее развития. В одном из них, как возможный способ ликвидации парадоксов П. Пэнлеве, предлагается введение дополнительных механических гипотез, таких, как отказ от абсолютной жесткости твердых тел, возникновение упругих деформаций в зоне контакта, наличие исчезающе малых зазоров в точках соприкосновения трущихся тел (см. Н.В. Бу-тенин [10], H.A. Фуфаев [60], Ю. И. Неймарк [39], Ле Суан Ань [20]).

Другой подход развивается в рамках механики систем абсолютно твердых тел. Здесь в работах П. Аппеля [4], [5], Н.Г. Чета-ева [76], Г. К. Пожарицкого [44], В. В. Румянцева [50] для систем с трением установлены общие принципы механики — принцип возможных перемещений Эйлера-Лагранжа и принцип наименьшего принуждения Гаусса, позволяющие выводить уравнения Лагран-жа движения таких систем.

Различным вопросам механических систем с трением, в том числе и анализу проявлений парадоксов П. Пэнлеве, посвящены работы [52], [41], [14], [15], [46], [45], [3], [8], [43], [55], [75], [83], [61], [72], [13]).

Важное значение имеет форма записи уравнений движения механических систем с трением, которая связана прежде всего с вычислением и анализом нормальных реакций системы в точках соприкосновения трущихся тел. Например, в цикле работ В. В. Никольского, Ю. П. Смирнова ([41], [42] и др.) вводится принцип вариантности удерживающих связей, который связан с выбором истинного движения из набора возможных, что и определяет соответствующую форму уравнений динамики.

В.М. Матросов в статье [23] ввел дифференциальные уравнения движения голономных механических систем с трением скольжения, с идеальными, удерживающими, нестационарными связями в форме.

3)3 = Ь Я) + V, 9) + 9, Ь '4) (0−1) где q) — матрица коэффициентов инерции, д, д), д, д) включают обобщенные гироскопические силы, переносные силы инерции, некоторые инерционные члены и активные силы, (5т (/, д, д, д) — обобщенные силы трения скольжения, зависящие от нормальных реакций, которые являются функциями ускорений.

Несмотря на сложность анализа таких уравнений, предложенный подход позволяет придать парадоксам П. Пэнлеве в рамках классической механики систем тел чисто математический характер, а именно: «невозможность» или «неединственность» движений связана с неразрешимостью или неоднозначной разрешимостью уравнения (0.1) относительно старших производных (ускорений). Соответственно этому и устраняться парадоксы могут математическими методами. Законы механики (как и законы других наук) для описания реальных процессов имеют свои границы применимости, которые подлежат определению, исходя из тех или иных критериев. Существование и единственность правосторонних решений уравнений движения могут быть таким критерием, в данном случае — критерием применимости законов Кулона для описания механических систем с трением скольжения.

Однако, следует заметить, что однозначная определенность и совместимость уравнений движения с законами Кулона не устраняет трудностей изучения этих уравнений, связанных с разрывной зависимостью сил трения от обобщенных скоростей, поскольку в этом случае не применима классическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, возникает задача исследования уравнения (0.1) в форме $ = <3(*, д,<7) (0.2) с разрывной, неявно заданной уравнением (0.1) функцией С. Анализ уравнений (0.1) показал, что имеется некоторый набор свойств функции С, в рамках которых для уравнения (0.2) можно развивать достаточно полную математическую теорию. Обобщение этих свойств, взятых в качестве предположений, выявляет, по сути дела, новый класс дифференциальных уравнений с однозначно определенной разрывной правой частью, для которого возможно решить основной круг вопросов общей теории (существование, продолжимость правосторонних решений, зависимость их от начальных условий и др.) и развивать методы качественной теории. Такая обобщенная постановка задачи позволяет, с одной стороны, показать, какие свойства уравнений движения систем с трением являются определяющими с точки зрения изучения их математическими методами, а с другой — непосредственно применять результаты и методы исследований к системам иной природы.

Целью диссертационной работы является систематическое исследование уравнений движения (0.1) механических систем с трением скольжения в рамках механики систем абсолютно твердых тел с максимальным учетом специфики задачи и структуры уравнений, которые представляют собой систему дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, неразрешенных относительно старших производныхпостроение их общей математической теории, в которой устраняются парадоксы П. Пэнлеве, и на этой основе развитие методов качественной теории изучения устойчивости, выявление закономерностей движений и свойств уравнений, не известных ранее, позволяющих применять математические методы исследования к системам с трением в дальнейшем и изучать новые классы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на две части, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение

.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Найдены условия разрешимости уравнений динамики механических систем с трением скольжения, позволяющие в рамках механики систем абсолютно твердых тел интерпретировать классические парадоксы П. Пэнлеве «о несуществовании» или «неединственности» движений и устранять их чисто математическими средствами. Изучены неизвестные ранее свойства уравнений динамики, которые являются определяющими с точки зрения построения их математической теории.

2. Решен основной круг вопросов общей теории уравнений динамики: существование, продолжимость, непрерывная зависимость правосторонних решений от начальных состояний и изучен ряд других свойств, позволяющих развивать методы качественной теории.

3. На уравнения динамики систем с трением распространены методы классической теории дифференциальных уравнений исследования вопросов притяжения: принцип инвариантности Ла-Салля и получены его модификации с использованием нескольких функций Ляпунова.

4. Предложены методы исследования устойчивости в малом множества неизолированных положений равновесия систем с трением, использующие конструкции, выявленные из анализа уравнений динамики и позволяющие преодолевать трудности, связанные со структурой уравнений динамики: неразрешенностью относительно старших производных и разрывностью правых частей.

5. Доказаны теоремы сведения, которые дополняют методы анализа устойчивости множества положений равновесия систем с трением, дают более полную картину поведения решений вблизи внутренних положений равновесия и максимально учитывают специфику задачи.

6. На основе исследования систем с трением определен и изучен новый класс дифференциальных уравнений с разрывной, однозначно определенной правой частью, в основу описания которого положены выведенные на уровень предположений в более общей форме основные свойства уравнений динамики систем с трением, что позволяет развивать методы исследования систем с трением в дальнейшем и переносить их на системы, возможно, иной природы.