В последние годы в работах В. Н. Кузнецова и его учеников был разработан метод исследования аналитических свойств функций, заданных рядами Дирихле — метод редукции к степенным рядам, который позволил выразить отдельные аналитические свойства этих функций в терминах граничных свойств соответствующих степенных рядов. Этот метод позволил получить новые результаты в теории классических L-функций Дирихле, что нашло приложение в решении отдельных теоретико-числовых задач.
Данная работа посвящена продолжению исследований в данном направлении и получении подобных результатов для L-функций числовых полей, включая L-функции Дирихле и L-функции Артина.
Нужно сказать, что исследования, связанные с развитием метода редукции к степенным рядам, проводятся в данной работе для целых функций. Поэтому, что касается L-функций Артина, то в работе в ряде случаев решается задача о целостности L-функций, возникающих в случае неабе-левых расширений Галуа основного поля, а за одно показывается, что для таких L-функций возможно получить результаты такие же, как и в случае L-функций Дирихле числовых полей.
Остановимся более подробно на вопросах, связанных с постановкой задач и их решением в данной диссертации.
Основные положения метода редукции к степенным рядам были разработаны в работах В. Н. Кузнецова в конце 70-х годов [1,2]. Рассмотрим ряд Дирихле оо f (s) = J24> = з = а + г% (1) z—' Пь п—>оо п—1 и соответствующий ему (с теми же коэффициентами) степенной ряд оо g (z) = J2a>nZn. (2).
П=1.
В [1,2]. было показано, что поведение соответствующего степенного ряда (2) на границе круга сходимости позволяет судить о некоторых аналитических свойствах рядов Дирихле (1). Нужно сказать, что для определенных классов степенных рядов, например, рядов с конечнозначными коэффициентами и рядов с целыми коэффициентами, задача, связанная с их поведением на границе круга сходимости достаточно хорошо изучена (см., например, [3]), что позволяет получать новые результаты относительно аналитических свойств соответствующих рядов Дирихле.
В начале 80-х на основании применения этого метода В. Н. Кузнецовым была получена аналитическая характеристика L-функций Дирихле в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами [4]. А именно, была доказана.
Теорема 1. Конечнозначная мультипликативная неединичная функция h (n) тогда и только тогда является характером Дирихле, когда ряд Дирихле s = a + (3) 1.
71—1 определяет целую функцию, удовлетворяющую следующему условию роста модуля в левой полуплоскости s)|^ce|s'In|s|+>1|s|, <7<0, (4) где, А — некоторая положительная константа.
Дальнейшее развитие метод редукции к степенным рядам получил в работах В. Н. Кузнецова и его учеников, опубликованных в период с 2002 по 2005 годы [5−7].
Как видно из теоремы 1, известная гипотеза Н. Г. Чудакова о том, что неглавный обобщенный характер является характером Дирихле [5,8], сводится к задаче аналитического продолжения ряда Дирихле (3), где h (n) — неглавный обобщенный характер, целым образом на комплексную область с условием роста модуля (4). Метод редукции к степенным рядам сводит эту задачу к тому, что степенной ряд оо g (z) = J2 Цп)*п (5) п—1 определяет функцию, регулярную в точке z = 1. Хорошо известно, что последнее будет иметь место, если функция, определенная на отрезке [0,1] рядом (5) допускает полиномиальную аппроксимацию с показательной скоростью.
В связи с этим в работе [9] были разработаны общие положения полиномиальной аппроксимации функций, заданных на отрезке [0,1] степенными рядами с мультипликативными коэффициентами.
Замечание 1. По мнению автора, более детальные исследования в направлении работы [9] позволят до конца решить гипотезу Н. Г. Чудакова об обобщенных характерах. Но работа в этом направлении является самостоятельной темой исследования, и эти вопросы не вошли в данную диссертацию.
Описанный выше подход в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле позволил получить аппроксимационную характеристику L-функций в классе эйлеровых произведений с конечнозначными коэффициентами. А именно, в работе [9] доказана.
Теорема 2. Пусть h{n) — неединичная мультипликативная конеч-нозначная функция натурального аргумента. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. h (n) — характер Дирихле;
2. функция п=1 продолжима регулярным образом в полуплоскость, а > 0 и в любой полосе, а ^ а0 > О, ^ Т допускает аппроксимацию полиномами Дирихле Tn (s) со скоростью ' 2de q> и где константа зависит только от Т.
Более того, в работе [9] доказан результат, характеризующий целые функции, порядок модуля которых удовлетворяет условию (4), и которые определяются рядами Дирихле. А именно, в [9] доказана.
Теорема 3. Ряд Дирихле оо 71=1 тогда и только тогда определяет целую функцию, порядок роста модуля которой удовлетворяет условию (4), когда для любой полосы, а ^ его > 1, t < Т существует последовательность полиномов Дирихле Tn{s), аппроксимирующих функцию f (s) в этой полосе со скоростью и где константа зависит только от Т.
Замечание 2. Как показано в [10] для любой L-функции Дирихле коэффициенты полиномов Tn (s) определяются явным образом. Это позволяет получить новую информацию о нулях и значениях (алгебраических или трансцендентных) L-функций на числовой прямой. Но эти вопросы определяют самостоятельные темы исследований и не вошли в данную работу.
Далее, в диссертации Е. В. Сецинской [11] показано, что метод редукции к степенным рядам позволяет в отдельных случаях ответить на вопрос о целостности функций, определяемых композитом двух рядов Дирихле. Это, в свою очередь, дает положительный ответ в известной задаче Ю. В. Линника о целостности композита L-функций Гекке числовых полей. А именно, в работе [11] получен следующий результат. Рассмотрим две L-функции числовых полей к и = (в).
21 ^ ' п=1.
В ^ ' 71=1 и их композит оо, м = Е^г- <8>
П=1.
При данных обозначениях имеет место.
Теорема 4. Пусть к и — числовые поля и L (s, xъ и L (s, x2Д2) — соответствующие им L-функции Дирихле вида (6) и (7), которые допускают разложение в виде произведения классических L-функций Дирихле, и пусть неглавные характеры Xi и Х2 имеют взаимно простые над полем рациональных чисел Q модули.
Тогда композит этих L-функций вида (8) определяет целую функцию.
Замечание 3. В работе [11] описан класс числовых полей к и характеров Дирихле х, для которых L-функция допускает разложение в произведение классических L-функций Дирихле.
Замечание 4• В основе доказательства теоремы 4 лежит метод редукции к степенным рядам. Его применение в данном случае предлагает достаточно полную информацию о поведении степенного ряда, отвечающего L-функции Дирихле числового поля. Такая информация в [11] получена только в случае, когда L-функция поля к допускает разложение в произведение классических L-функций Дирихле.
Данная диссертация посвящена решению следующих вопросов:
1. Дальнейшему развитию метода редукции к степенным рядам, и применению полученных результатов в классической теории L-функций Дирихле.
2. Развитию метода редукции к степенным рядам с целью дальнейшего его применения в теории L-функций Дирихле числовых полей.
3. Вычислению в ряде случаев L-функций Артина с целью показать, что и в этих случаях работает метод редукции к степенным рядам.
Как следует из вышесказанного эти задачи являются актуальными. К новым результатам, полученным в данной работе в направлении решения вышеприведенных задач, нужно отнести следующие результаты. В плане первой задачи.
1. Получен критерий того, что ряд Дирихле (1) определяет целую функцию с условием роста модуля (4), когда соответствующий степенной ряд (2) определяет функцию, регулярную в точке z — 1.
Следует отметить, что в данном случае в отличие от соответствующего результата, доказанного в [4] рассматриваются ряды Дирихле с произвольными (а не обязательно конечнозначными) коэффициентами.
2. Полученный выше результат позволил описать ряды Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, которые определяют функции, удовлетворяющие функциональному уравнению римановского типа, то есть функциональному уравнению вида где, а — некотрая ненулевая константа- 5 и <5i — величины, равные либо 1, либо 0- f (s) — функция, определяемая рядом Дирихле с коэффициентами, сопряженными к коэффициентам ряда Дирихле, определяющего функцию м.
Замечание. В случае, а = 5 = уравнению (??) удовлетворяют Lфункции Дирихле L (s, х), где характер Дирихле х имеет период кпд — 5i, и равен 0 или 1 в завсимости от того, чему равно значение.
Еще в 1859 году в знаменитой работе [12] Риман показал, что функция удовлетворяет функциональному уравнению ж-iF (|) ф) = (I^i) С (1 «в) ¦ (Ю).
Там же [12] Риманом была поставлена задача о том, в какой степени уравнение (10) характеризует С-функцию.
Полный ответ на этот вопрос был получен в 1922 году немецким математиком Гамбургером [13], который фактически показал, что если функция f (s) определяется рядом Дирихле, абсолютно сходящимся в полуплоскости о > 1, и удовлетворяет функциональному уравнению (10), то эта функция с точностью до константы является («-функцией Римана.
Известно, что для уравнений вида (9) подобный факт не имеет места. Более того, известно, что существуют ряды Дирихле с периодическими коэффициентами, которые удовлетворяют функциональному уравнению римановского типа и которые имеют «достаточно много» нулей в полуплоскости <7 > (По этому поводу см. [15]).
Тем не менее, автору удалось показать [16], что в классе рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами уравнению римановского типа удовлетворяют только L-функции Дирихле.
3. Изучение граничных свойств степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле, определяющих функции, регулярные в полуплоскости, а > позволило определить условие, сформулированное в терминах поведения сумматорной функции коэффициентов логарифмической производной L-функции, равносильное расширенной гипотезе Римана о нулях L-функций Дирихле. Это позволило, в какой-то степени, иначе посмотреть на задачу относительно взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана. (По этому поводу см. параграф 2.3 настоящей работы).
Что касается второй задачи, которая изучалась в данной работе, то в этом направлении получены следующие результаты:
1. Получен критерий того, что ряд Дирихле (1) определяет целую функцию /(s), с условием роста модуля в левой полуплоскости вида.
5)|.
Отметим, что условие (11) удовлетворяет L-функциям Дирихле числовых полей.
2. Исследована задача граничного поведения в точках единичной окружности, определяемых корнями из единицы, степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей {к Ф Q). В соавторстве с Е. В. Сецинской [17] показано, что при некоторых ограничениях у функций, определяемых такими рядами почти во всех точках единичной окружности, отвечающих корням из единицы, существуют радиальные производные любого порядка.
Замечание 5. Вопрос о существовании конечных радиальных производных у функции, определяемой степенным рядом, соответствующим L-функции Дирихле числового поля к (к фQ), почти во всех точках единичной окружности, остается открытым. Положительное решение этого вопроса позволило бы до конца решить задачу о целостности композита L-функций Дирихле числовых полей.
3. Определен непустой класс характеров Дирихле, которые по аналогии с числовыми характерами, получили название обобщенных. Для таких характеров выдвинуто утверждение, которое является аналогом известной гипотезы Н. Г. Чудакова. Этот результат получен в соавторстве с В. Н. Кузнецовым и А. В. Ермоленко [19].
К основным результатам, полученным в данной работе в плане решения третьей задачи, нужно отнести следующие результаты, опубликованные в работах [20−22].
1. В случае, когда группа Галуа G расширения числового поля к С К является объединением попарно различных циклических групп, получено уточнение теоремы Брауэра, что позволило для групп бесквадратного порядка применить индуктивный подход при вычислении L-функции Артина, и показать, что L-функция Артина в этих случаях является произведением L-функций Дирихле промежуточных числовых полей к С К{ С К. Таким образом, показано, что метод редукции к степенным рядам применим к L-функциям Артина в этих случаях.
2. В ряде случаев, рассматриваемых в работе, предложен подход вычисления L-функций Артина, основанный на разложении на множители и последующего частичного сокращения тех L-функций Дирихле циклических расширений, которые, согласно теореме Брауэра, определяют Lфункции Артина как мероморфные функции. Такой подход позволил показать, что L-функции Артина в этих случаях также являются произведением L-функций Дирихле.
Все приведенные выше результаты являются новыми и получены самостоятельно автором. Эти результаты определяют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 82 страницы. Краткое содержание работы.
Заключение
.
Остановимся на отдельных вопросах, которые непосредственно связаны с тематикой данной работы, но не нашли в ней должного отражения.
Во-первых, в данной работе не рассматривались вопросы, отражающие взаимосвязь целостности функции, заданной рядом Дирихле, с определенным порядком роста модуля в левой полуплоскости, и распределением нулей этой функции в критической полосе. Известный пример Девенпорта-Хейльброна показывает, что даже тот факт, что такая функция удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа, не гарантирует того, что не все нули такой функции будут римановскими. Тем не менее, «достаточно много» нулей функции Девенпорта-Хейльброна лежат на критической прямой, и в то же время условие мультипликативности коэффициентов рядов Дирихле, определяющих функции, удовлетворяющих римановскому уравнению, как показано в работе, определяет такие ряды, как L-функции Дирихле.
В связи с вышесказанным, для решения расширенной гипотезы Римана существенным моментом может оказаться изучение аналитических свойств эйлеровых произведений.
В этом направлении, по мнению автора, должна решаться и известная гипотеза Н. Г. Чудакова об обобщенных характерах. Можно надеяться, что более детальное изучение вопросов теории полиномиального приближения функций, заданных на отрезке [0,1] степенными рядами с мультипликативными коэффициентами, основные положения которой были изложены в работе [9], приведет к окончательному решению этой проблемы.
К вопросам, связанным с L-функциями числовых полей стоит отнести следующие.
В работе остался без ответа вопрос об аналитической непродолжимости за границу круга сходимости степенного ряда, отвечающего L-функции числового поля, отличного от поля рациональных чисел.
Что касается гипотезы Артина, то в этом направлении следует ожидать результатов, которые задачу разложения и последующего частичного сокращения сомножителей, о которой шла речь в пункте 3.4 последней главы, редуцирует к абелеву случаю.
Хотелось бы отметить, что по мнению автора, наиболее перспективным подходом к решению гипотезы Артина, является подход, в основе которого лежит редукция задачи о целостности L-функции к абелеву случаю. К сожалению, этот подход нуждается в значительной доработке, и поэтому не вошел в основную часть диссертации. Основные положения этого подхода заключаются в следующем.
Пусть G — неабелева группа и яр — простой характер этой группы. В силу теоремы Брауэра существует покрытие группы G циклическими подгруппами На: G = [J На, и группы На изоморфны в случае их сопряжена ности, существуют единичные характеры ha этих циклических подгрупп такие, что.
Ф = ^nah*a, а где па, h* — индуцированные характеры.
Пусть к С К — неабелево расширение Галуа с группой Галуа G. Обозначим через Еа подмножество идеалов, порожденных простыми идеалами р, такими, что.
F[p] € tfQ, где F — отображение Фробениуса.
Тогда подмножества Еа образуют покрытие множества всех нераз-ветвленных идеалов поля к.
Метод редукции к абелевому случаю заключается в построении абе-лева расширения Галуа к С L с группой Галуа G, для которого выполнены следующие условия:
1. существует такое покрытие группы G G — jj^, H’ai циклическими подгруппами Hfa, что каждая Н’а изоморфна хотя бы одной подгруппе На и обратно, каждая подгруппа На изоморфна одной подгруппе H’ai;
2. системы покрытий {-Ё^*} и {Е'а1} совпадают;
3. для любой подгруппы H’ai, изоморфной подгруппе На существует гомоморфизм Хаг, обладающий свойствами: для любого Еа: ha (p) = ХаМ.
В этом случае можно показать, что L-функция Артина L (s, яр, К /к) — целая тогда и только тогда, когда целой является функция L (s, tp, L/k), где для ср = Y2naiXai n&i такие же коэффициенты, как и при соответствующем ai п* в разложении простого характера яр.
