Интегральные представления и монодромия для алгебраических функций

Вплоть до середины 19 века поиски аналитического решения алгебраического уравнения степени выше чем четыре, были безрезультатными. Лишь в 1858 г. Эрмит [24], [25] и Кронекер [28], независимо друг от друга нашли решение для уравнения пятой степени. А именно, им удалось выразить решение уравнения у5 + Ьу = а к которому сводится любое уравнение пятой степени с помощью преобразований Чирнгауза [34] (см. также [7], [12])) через модулярную эллиптическую функцию. Следующий успех в проблеме поиска решений уравнений высших степеней был достигнут в 20 веке. Так, в 1921 г. Мел-лином [29] было найдено решение для алгебраического уравнения xn-zn~l +. + xiz — 1 = 0 (0.1) с помощью гипергеометрических рядов переменных х,., xn-i, а также посредством кратных интегралов Меллина-Барнса. Отметим, что общее алгебраическое уравнение n-ой степени записывается в виде xnzn +. .. + xz + =.

Решением этого уравнения является многозначная алгебраическая функция z (x), обладающая свойством двойной однородности [31]. Следовательно, его решение фактически зависит лишь от п — 1 переменных. Иными словами, достаточно рассмотреть уравнение вида хпгп +. + г* +. + гр +. + ххг + х0 = 0, (0.2) где коэффициенты при двух мономах г4, гр «заморожены». В случае р = 0, д = п мы получаем уравнение вида (0.1), где знак «минус» перед единицей взят для удобства. Биркелан [19], [20] распространил результат Меллина на уравнения (0.2) с произвольными парами (р, #). В 1984 г. Умемура [16] показал, что уравнение любой степени можно решить с помощью тэта-функций, тем самым, обобщив результат Эрмита-Кронекера.

Далее, в 2000 г. Семушева и Цих [14], и независимо от них, Штурм-фельс [33] предъявили аналитическое продолжение для решения уравнения (0.1), используя понятие гипергеометрических функций по Горну [26] и Гельфанду-Капранову-Зелевинскому [5]. Теория гипергеометрических функций и связанная с ней теория дискриминантов были глубоко изучены в конце прошлого века в статьях [5], [27] и книгах [4], [23]. С помощью этих теорий и понятия амебы алгебраического множества Пае-саре и Цих [31] описали области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение уравнения (0.2).

К сожалению, арсенал степенных рядов и интегралов Меллина-Барнса вместе не позволяет исследовать монодромию, т. е. всевозможные аналитические продолжения решений уравнений (0.1) или (0.2). К тому же, до сих пор не была выявлена связь между двумя подходами к решению алгебраических уравнений: подходами Меллина (на основе гипергеометрических функций) и Эрмита-Кронекера (с привлечением эллиптических модулярных функций).

Целью настоящей диссертационной работы является получение новых интегральных формул для решения общего алгебраического уравнения, исследование монодромии решения и установление связи между подходами Меллина и Эрмита-Кронекера.

Методика исследования диссертации основана на теории гипергеометрических рядов и новой интегральной формуле для решения уравнения (0.1), доказанной авторомкроме того, важную роль играют понятия амебы и коамебы применительно к дискриминантным множествам алгебраических уравнений, а также понятие параметризации Горна-Капранова.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе приводятся новые интегральные представления (в элементарных функциях) для решения уравнений (0.1), (0.2) и на их основе исследуется монодромия решений.

Напомним интегральную формулу Меллина для решения z (x) уравнения (0.1). Рассмотрим несколько другую его запись, позволяя брать нулевыми некоторые коэффициенты: zn + Xizni +. + xpznp -1 = 0, п > щ >. > пр > 0. (0.3).

Введем два целочисленных вектора, а = (ni,., пр), ?3 = (п — rii,., п — пр).

Интегральная формула Меллина [29] (см. также [14]) выражает ветвь z = zq (x), выделенную вблизи х — 0 условием^о (0) = 1, в виде интеграла.

Меллина-Барнса? t r (Ci)-• -г (сР) y+iRp n П.

Здесь Г — гамма функция Эйлера, 7 — точка из многогранника и € Rp: и > 0,., ир > 0, щщ +. + прир < 1}, для векторов х = ., жр), С = (Съ • • •? Ср) используется мультиин-дексная запись аГ^ = х¹. Хр*>р, d (= dCi, А • • ¦ A dCp.

Следуя Меллину, указанную ветвь zo (x) называем главным решением уравнения (0.3). Отметим, что все остальные ветви получаются из zq{x) по формуле zj{x) = sjzq^xi, ., ?jpxp), j = 1,., n — 1, (0.5) где? j = - первообразные корни из единицы.

Заметим, что в интеграле (0.4) подынтегральное выражение является трансцендентной функцией, а множество интегрирования неограничено.

Для уравнения (0.3) решение можно представить в виде интеграла по компакту (отрезку), с интегрированием элементарной функции. А именно, в § 1.2 доказана следующая теорема, в которой для краткости письма используется обозначение р

F±{xt) = 1 — e^Xkt^i 1 — tf^ n Xkt" [L — t) k=1 для пары функций, линейных относительно х.

Теорема 1. Главное решение го (х) уравнения (0.3) допускает представление в виде интеграла х) = 1 + -— /-П-ш е «1п ?) — е» «1п *)] Л, (0.6).

К’ЬТЬ ,/ (^ /¦) п где ветви логарифма определены в области пространства Ср переменного х = (#1,., хр), полученной удалением из Ср двух семейств комплексных гиперплоскостей.

Е±-= и {х:Р±{х^) = 0}, *б (0−1) и выбираются условием 1п 1 = 0.

Отметим, что интеграл (0.6) сходится на отрезке [0- 1] благодаря тому факту, что подынтегральное выражение в квадратных скобках обращается в нуль в точке? = 1 с порядком, достаточным для компенсации неинтегрируемого множителя (1 —.

Областями сходимости гипергеометрических рядов (степенных рядов с центром в точке х = 0) для решений г (х) являются поликруговые области (т. е. задаваемые условиями лишь на модули хк коэффициентов х~ уравнения). Структура этих областей в терминах амебы дискриминанта описана в статье [31]. С другой стороны, область сходимости интеграла Меллина-Барнса (0.4) является секториальной (т. е. задается условиями лишь на аргументы ащхк)', структура этой области в терминах коаме-бы дискриминанта описана в статье [1]. Что касается интеграла (0.6), то его область сходимости Ср (Е+ и Е) не является ни поликруговой, ни секториальной.

Будучи однопараметричеекими семействами комплексных гиперплоскостей, множества Е±представляют собой вещественные гиперповерхности в Ср. Фактически они являются разрезами в пространстве Ср, примыкающими к дискриминантному множеству уравнения (0.3). Указанные разрезы вместе с соотношениями (0.5) для ветвей уравнения (0.3) позволяют получить некоторую информацию о монодромии решения г (х), а в случае триномиального уравнения zn + xzm- 1 = 0, 0 < т < п.

0.7).

— полную информацию. Для этого уравнения множества ?± представляют собой пару лучей (см. Рис. 1) 1.

— ytrun те+ п г > г ч Ш., ч п-п m п i п—тп п.

Imx F' IXo Imx Л o • I X / / •.

Rex i Xn—m • (x ' • 1 Re?

V.

Рис. 1. Разрезы Е+ и для триномиального уравнения (0.7).

Рис. 2. Образующие петли фундаментальной группы дополнения к дискриминантному множеству уравнения (0.7).

Отметим, что степенные гипергеометрические ряды, представляющие решения г (х) уравнения (0.7) сходятся либо в круге |ж| < г (в этом случае они являются рядами Тейлора для ветвей г (х)), либо во внешности круга |ж| > г (в этом случае они — ряды Пюизо для одной или нескольких ветвей). В то же время, область сходимости интеграла Меллина-Барнса для главного решения уравнения (0.7) — это сектор, ограниченный продолжениями лучей Е±до их пересечения в начале координат.

Не ограничивая общности можно считать, что тип взаимно просты (уравнение (0.7) сводится к этому случаю заменой г = гД где д, — наибольший общий делитель для т и п). В этом случае дискриминантное множество V уравнения (0.7) составляет следующая последовательность точек тггот+23 е п ~ т,. п-то? й — 0, ., 72 1,.

• («г») ¦ лежащих на одной окружности, при этом гг0 =: х~ и хп-т =: х+ - суть начала лучей? и Е+, вне которых, по Теореме 1, главное решение ?•= го (х) голоморфно и однозначно. Обозначим через а3 петлю, проходящую через х = 0 и окружающую лишь точку х3. Совокупность таких п петель порождает фундаментальную группу дополнения С V дискриминантного множествапетли сто и сгп-т обозначим а~ и а+ соответственно (см. Рис. 2).

Следствие 1.1. Главная ветвь триномиального уравнения.

0.7) переходит в себя при обходе каждой из петель а3, кроме а~ и.

Учитывая связь (0.5) между ветвями г (х), мы приходим к следующему описанию монодромии решения г{х) для триномиального уравнения.

Теорема 2. Если тип взаимно просты, то всякая ветвь триномиального уравнения (0.7) имеет ветвление (причем второго порядка) лишь в паре точек e*(m-2j) ef (-m-2j).

ЩЩ^у^ = X-3{modn), == XH-rn)(rnodn).

При этом, ветвь Zj при обходе петли (Т-^тоап) переходит в ветвь Z{j-m){modn), а при обходе петли cr (-j-m)(rnodn) — б ветвь z^+m^modn).

Для возможного применения Теоремы 1 в общем случае проведено детальное исследование взаиморасположения разрезов Е±с дискрими-нантным множеством.

V = {х е С71″ 1: А (х) = 0} уравнения (0.1). В [31] показано, что V допускает следующую п-значную параметризацию fe = 1,. — XS Е СРП2, (0.8) a, s) V (А s) J где, а = (п—1,п—2,., 1), ?= (1,2, ., п-1).

Для формулировки теоремы 3 обозначим через a-±(s) — ветви параметризации (0.8), определяемые для s G М" -1 условиями arg = Т^-В случае кубического уравнения (п = 3) эти ветви параметризуют вещественные кривые, поэтому мы их будем называть «струнами» .

В триномиальном случае x±(s) — это точки х+ и х~. Нас интересует аналитическое продолжение решения zo (x) уравнения (0.1) из окрестности точки х = 0. Область сходимости D степенного ряда для zq (x) с центром в точке х = 0, будучи (п — 1)-круговой областью, определяется параметризацией х (в) из (0.8), а именно, поверхность.

Ы = к= 1,., п- 1- 5 еМ!^-1 задает границу дИ изображения области И на диаграмме Рейн-хардта [31]. Мы доказываем, что Б — выпуклая область. Следующий результат является обобщением Теоремы 2 на общее уравнение (0.1).

Теорема 3. Разрезы Е+, Е не пересекают область И и примыкают к ее границе лишь по двум «струнам» {^(я): 5? М" -1} С V. Таким образом, при продолжении через границу дИ главное решение уравнения (0.1) испытывает ветвление только в точках {^(з): я 6 К" -1}.

В заключительном параграфе первой главы приводится интегральное представление для решения уравнения.

1 + хгпх + +.+ х8хп* = 0, щ >. > п8 > 0, щ ф д. (0.9).

Последнее уравнение заменой 2 = уе~* сводится к уравнению Биркелана (0.2).

1+.

Для формулировки результата символом / обозначим интеграл, о взятый вдоль петли, которая начинается в точке Ь = 0, обходит t = 1 в положительном направлении и возвращается в исходную точку. Как и выше, главное решение уравнения (0.9) — ветвь с условием £о (0) = 1.

Теорема 4. Главное решение го (х) уравнения (0.9) допускает предоглавление в виде интеграла.

1+ 5.

Ф) = 1 — &&- (1 — - 1)*тЧ) <Й, (0.10) о к=1 в котором ветвь логарифма вблизи х = 0 выбирается условием 1п 1 =.

0. Интеграл (0.10) сходится в области пространства Св переменного х = (#1,., а^)? полученной удалением из С5 двух семейств комплексных гиперплоскостей: е (0−1) I А=1 ;

Во второй главе анализируется подход Эрмита-Кронекера к решению уравнения пятой степени. Как уже отмечалось, с помощью преобразования Чирнгауза общее алгебраическое уравнение пятой степени сводится к уравнению с одним параметром: уъ + Ьу = а. (0.11).

Эрмит [24], [25] и Кронекер [28] (см. также [35], [7], [12]) для функции.

00 т) = 9″ А П (1 + 92″ «1) ик=1 близкой к тэта-функции, показали, что шесть ее значений.

0 = / (Г) ^ = / = / (Г^*) = /, п = I 596^, Уоо = /(5г) удовлетворяют так называемому модулярному уравнению.

V6 — Л5 +4ии + и6 = 0, и = /(г). 13.

Затем, используя рациональные процедуры (см. формулы (2.4) и (2.5) в главе 2), предъявили корни уравнения (0.11).

Наш подход основан на прямом решении модулярного уравнения, ^ используя аналитическое продолжение (см. (2.15)) ряда Меллина, найденное в статье Семушевой и Циха [14]. В результате доказана > следующая.

Теорема 5. Ветвь решения у (а) уравнения (0.11) с условием у{ 6г) = г находится по формуле и1{а) + Ь где и (а) выражается суммой 36 рядов зг ^ (—1)С1+52 ^7/1 Е.

32 а/5 ^ кг^У^сг + ЗвхЖо! + 352)!(с2 + 3 щ)!(сй + Зп2)! о, п>0, с1, с2={0,1,2}.

Х ^ Г (2 + 4¹ + 10/с2)Х гГ (1 + Цех + 1531 + 18д2) Г (1 + Ис2 + 15П1 + 18п2) 1 ^.

Х I Г (2 + 9сх + 1251 + 15я2) Г (2 + 9с2 + Пщ + 15п2) + (1 + а + 3^) Х.

1 Г (6 + 11 С! + 1531 + 18д2) Г (6 + 11 с2 + 15П1 + 18п2) ?4 Х (1 + с2 + 3щ) Г (6 + 9с1 + 12в1 + 1552) Г (б + 9с2 + 12п1 + 15п2) 410.

1 Г (1 + Цех + 15¹ + Ш2) Г (6 + Пса + 15п! + 18п2) (1 + с2 + Зщ) Г (2 + 9сх + 125Х + 15а2) Г (б + 9с2 + 12щ + 15п2) 45 1 х X X.

1 + С1 + 351).

Г (б + 11С1 + 1551 + 1852) Г (1 + Ис2 + 15П1 + 18п2) ?2.

Г (б + 9сх + 1251 + 1552) Г (2 + 9с2 + 12пх + 15п2) вычисленных при Ь = а2+х/°4+25-.

Как функциональные ряды переменного а, они сходятся в секторах,.

7Ц Зтг! т Зяч ограниченных лучами, а = ге * и, а = ге * - а = ге* и, а = ге *, г > 0.

1 Участвующие в теореме ряды можно интерпретировать как сужения шестикратных гипергеометрических рядов переменных (^1, Z2, Wl, W2, Cl1 Сг) на сдвинутую однопараметрическую г2 г4 г6 г6 ?6 г6.

1 = 45,^2 = = = |18,С1 =^15,С2 = ^ предполагается, что степени переменных обозначают к{, а переменных Юг, Сг — соответственно и щ).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36] - [40]. По материалам диссертации делались доклады I.

I ¦

— на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2003 — 2006 гг.);

— на Международной школе-конференции «Комплексный анализ и его приложения» (Краснодар, сентябрь 2005 г.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и проявленное внимание к данной работе.

Основные результаты:

1. Найдена новая формула для решения общего алгебраического уравнения в виде интеграла по отрезку элементарной функции.

2. Описана монодромия решения вблизи ближайших особенностейдля триномиального уравнения получено полное описание монодромии.

3. Получена новая формула для решения уравнения пятой степени в виде сужения гипергеометрических рядов.

Заключение

.

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе и алгебраической геометрии.