Централизаторы 2-подгрупп в конечных группах

В теории конечных неразрешимых групп большое значение имеют характеризации групп свойствами централизаторов инволюций. По заданному строению централизатора некоторой инволюции были открыты многие простые группы. Так были получены спорадические группы 1 «» З3 > Ив и другие. Большой интерес вызывают также теоремы, характеризующие конечные группы, в которых централизаторы всех инволюций обладают некоторым общим свойством. При доказательстве одной теоремы такого рода М. Судзуки открыл новую бесконечную серию конечных простых врупп. Эта теорема, называемая теоремой о CITгруппах, утверждает, что конечная неабеле-ва простая группа, централизаторы всех инволюций которой являются 2-группами, изоморфна одной из следующих групп: L2(2V)>

1,, где с^ -простое число Ферма или Мерсенна,.

В последние годы появился интерес к яарактеризациям конечных неразрешимых групп свойствами централизаторов 2-подгрупп порядка, большего 2. В 1973 году В. В. Кабанов в[~?-1 описал конечные простые группы, в которых централизаторы всех подгрупп порядка 4- являются 2-группами, все инволюции центральны и их централизаторы.разрешимы. В 1976 году А. Н. Фомин [15] выяснил строение нетонкой 2-скованной 2-локальной подгруппы в группе, в которой централизаторы всех четверных подгрупп являются 2-группами.

В 1978 году С. А. Снскин? избавился от дополнительного ограничения на инволюции и их централизаторы в результате В. В. Кабанова. В [Дц] им было доказано, что все конечные простые группы, в которых централизатор любой подгруппы порядка 4 является 2-группой, исчерпываются известными и, следовательно, принадлежат списку:

L2 (fy) для подходящего > S^C²*" a, .

В этом же году была опубликована статья С. А. Сыскина которой он классифицировал конечные простые группы, централизаторы всех четверных подгрупп которых являются 2-группами. К группам из списка теоремы I из добавились следующие группы: все оставшиеся L-lI^) Для.

Т.1С2), им, Cfy) для подходящих нечетных ^.

Естественным продолжением исследований В. В. Кабанова, А. Н. Фомина и С. А. Сыскина является изучение групп с соответствующими ограничениями на централизаторы подгрупп порядка 8. К этому вопросу относятся теоремы I и 2 диссертации.

Теоремой I классифицируются конечные простые группы типа характеристики 2, в которых централизаторы всех элементарных подгрупп порядка 8 являются 2-группами, причем 2-локальный 3-ранг самой группы не превосходит I. Эта теорема используется в доказательстве теоремы 2, которой описываются конечные простые группы, централизаторы всех подгрупп порядка 8 которых являются 2-группами.

Заметим, что теоремы I и 2, как и цитируемые результаты С. А. Сыскина, являются также нечетными характеризациями. Так, теоремой 2 описываются конечные простые группы, централизатор любого элемента нечетного порядка в которых имеет силовскую 2-под-группу порядка, не превосходящего 8.

Во всех изложенных результатах централизаторное условие, а именно, требование, чтобы централизаторы подгрупп порядка 4- (соответственно 8) или только элементарных этого же порядка были 2-группами, выполняется во всей группе. Естественный интерес вызывает изучение групп, в которых это централизаторное ограничение налагается лишь на централизаторы 2-подгрупп в некоторой собственной подгруппе. В теоремах 3 и 4 в качестве такой собственной подгруппы берется централизатор некоторой инволюции.

Теорема 3 выясняет строение конечной простой группы, в которой есть центральная инволюция (то есть инволюция, принадлежащая центру некоторой силовской 2-подгруппы), в централизаторе которой централизаторы всех подгрупп порядка 4 являются 2-группами, при условии неразрешимости рассматриваемого централизатора инволюции. В теореме 4- при некоторых ограничениях рассматриваются конечные группы, имеющие централизатор инволюции (не обязательно центральной), централизаторы всех четверных подгрупп в котором являются 2-группами. Теорема 3 доказана совместно с А. А. Махневым.

Результаты диссертации докладывались на УП Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Шушенское, 1980 год), на ХУ1 Всесоюзной алгебраической конференции (Ленинград, 1981 год), на семинаре «Алгебра и логика», на семинаре отдела алгебры Института математики и механики УНЦ АН СССР, на семинаре по конечным группам в Новосибирском университете, на конференциях молодых ученых ИММ УНЦ АН СССР.

Содержание диссертации полностью отражено в работах r2−6j.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А. И. Старостину, под руководством которого была написана диссертация, а также А. А. Махневу за поддержу и внимание к работе. онов порядка г п¦

1. Боровик А. В. 3-локальная характеризация группы Хельда. — Алгебра и логика, 1980, т.19, Ш 4, с.387−404.

2. Веретенников Б. М. О централизаторах инволюций в конечных группах. В кн.: Седьмой Всесоюз.симпоз. по теор.групп. Красноярск, 1980, с. 25″ .

3. Веретенников Б. М. О конечных группах с малым 2-рангом централизаторов 2'-элементов. В кн.: ХУ1 Всесоюз.алгебр.конф. Ленинград, 1981, т. 2., с. 24.

4. Веретенников Б. М. О конечных группах с централизатором инволюции с фактор-группой, изоморфной L-z. Алгебра и логика, 1982, т.21, № 4, с.402−409.

5. Веретенников Б. М. Конечные группы, в которых элементы нечетного порядка не централизуют подгрупп порядка 8. Свердловск, Уральский политехн. ин-т, 1983, 27 с. Библиогр.: 30 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 2.2. Ь, 1983 г.- № 4532−83 Деп.).

6. Веретенников Б. М., Махнев А. А. О конечных группах с ограниченным централизатором инволюции. Изв. вузов. Матем., 1982,10 (245), с.8−14.

7. Кабанов В. В. Конечные группы с самоцентрализующейся подгруппой порядка б и одним классом инволюций. Алгебра и логика, 1972, т. II, Ш 5, с.509−515.

8. Кондратьев А. С. Конечные простые группы с силовскими 2-под7группами порядка 2. Изв. АН СССР, Сер.мат., 1977, т.41, № 4, с.752−767.

9. Мазуров В. Д. О централизаторах инволюций в простых группах. -Матем. сборник, 1974, т.93 (135), № 4, с.529−539.

10. Махнев А. А. О конечных группах с централизатором порадка 6. Алгебра и логика, 1977, т.16, № 4, с.432−442. П. Подуфалов Н. Д. Конечные простые группы без элементов порядка 6. Алгебра и логика, Новосибирск, 1976, т. 15, fe I, с.71−88.

11. Ситников В. М. О группе Матье. Матем. заметки, 1974, т.15, № 4,с.651−659.

12. Сыскин С. А. Конечные группы с примарными централизаторами четверных подгрупп. Изв. АН СССР, сер.матем., 1978, т.42, № 5,с.II32-II50.

13. Сыскин С. А. О централизаторах 2-подгрупп в конечных группах.-Алгебра и логика, 1978, т.17, № 3, с.316−354.

14. Фомин А. Н. О С/ч (-группах. В кн.: Пятый Всесоюз.симпоз. по теор.групп. Новосибирск, 1976, с. 93 .