Переходные процессы в электрических цепях

1. Схема

Дано:

E=180 [В]

L=0,09 [Гн]

R₁=300 [Ом]

R₂=300 [Ом]

R₃=600 [Ом]

C=5 [мкФ]

Ключ размыкается

2. Составление характеристического уравнения по Zвх. и расчёт его корней

Z_вх(jw)=; (1)

Z_вх()=; (2)

Z_вх=0 ==>

=0; (3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

— корни характеристического уравнения. (11)

3. Определение принужденных составляющих

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

4. Определение начальных условий

А) Независимые начальные условия

(19)

(20)

Б) Зависимые начальные условия

Составим систему по законам Кирхгофа:

(21)

Подставим в систему (21) t=0, учитывая ННУ из пункта 4. А)

(22)

Преобразуя систему (22), получим:

(23)

Таким образом, получим систему зависимых начальных условий (24):

(24)

5. Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа

Определяем i₁:

Из (27): (28)

Дифференцируем (26):

(29)

Дифференцируем (28):

(30)

Подставим (30) в (29):

==> (31)

(32)

Подставим (32) и (28) в (25):

(33)

(34)

6. Получение дифференциального уравнения методом Д-алгебраизации

Запишем исходную систему уравнений (25)…(27) с помощью Д-алгебраизации:

Из системы (35)…(37) получим i₁;

(42)

(43)

(44)

==> (45)

==> (46)

(47)

7. Анализ полученного уравнения

(47)

а) Из полученного дифференциального уравнения:

(48)

(49)

б) При :

=const и ==>

==> (50)

[A]

8. Решение дифференциального уравнения классическим методом

ток напряжение кирхгоф

— корни вещественные, различные

(51)

[A] (52)

(53)

Рассмотрим уравнение (53) при t=0:

(54)

0.3=A₁+ A₂ +0.15 ==> A₁ =0.15 — A₂ (55)

Подставим A₁ в (53):

(56)

Продифференцируем (56):

(57)

Рассмотрим (57) при t=0:

(58)

— 0.225==> A₁=0,375 (59)

Подставим (59) в (56):

(60)

Таким образом:

[A] (61)

9. Определение остальных токов и напряжений

10. Проверочная таблица

11. Операторный метод

Составим систему уравнений в операторной форме:

(69)

Подставим начальные условия:

и преобразуем систему (69) относительно :

(70)

(71)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

Перейти от изображения к оригиналу с помощью теоремы разложения (76):

(76)

Найдём производную полинома F₂:

(77)

Подставляем корни:

(78)

(79)

(80)

Т. о. (81)

Формула (81), полученная операторным методом, совпадает с формулой (61), полученной с помощью классического метода.

12. Расчёт методом переменных состояния

Из (84) получим:

(86)

Подставим (86) в (83):

(87)

Оставим в системе (82)…(85) переменные состояния цепи (i_L, u_c) ==> исключим токи i₂ и i₃ ==>, подставляя в (82) уравнения (85) и (86), получим:

(88)

Выделим из уравнения (87) и (88) производные:

(89)

(90)

Составим матрицы коэффициентов, входных воздействий и начальных условий:

Используем полученные матрицы для построения графиков i_L и u_C, с помощью метода Рунге-Кутта в программе «MathCAD»

Т.к. корни вещественные, то :

[c] [c]

Используем для вычисления t наибольшее :

[c]

Обращение к программе «MathCAD»

Расчет переходного процесса на ЦВМ совпадает с расчетом, выполненном классическим методом: значения тока i₁(t) и напряжения u_C(t) были проверены при

13. Графики токов и напряжений

А) Графики токов

Проверим выполнение 1-ого закона Кирхгофа при [с]:

i1(0.001)=0.224 [A]

i2(0.001)=0.091 [A]

i3(0.001)=0.133 [A]

Верно.

Б) Графики напряжений

Проверим выполнение 2-ого закона Кирхгофа для первого контура при [с]:

ul (0.001)= -6.9

uc (0.001)=119.7

ur1(0.001)=67.2

ur2(0.001)=39.86

ur3(0.001)=79.73

Верно.

1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1. — 3-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоиздат. Ленинг. отд-ние, 1981. — 536 с.

2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Учебник для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. — 7-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. школа, 1978. — 528 с.

3. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника: Учеб. пособие для ву-зов. — 4-е изд., перераб. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 440 с.

4. Методические указания к домашним заданиям по расчету электрических цепей /Под ред. Лысенко А. П. — Л.: ЛМИ, 1984. — 58 с.