Эмпирическая плотность распределения

Эмпирическая плотность распределения

1. Математическая модель решения

Сначала генерируются 2 выборки из N элементов. Затем определяются минимальные и максимальные значения выборки. После этого происходит разбиение выборок на интервалы и определяется значение критерия Х². Полученное значение сравнивается с критическим значением Хкр. Из результатов сравнения делается вывод о принятии и отвержении гипотезы об идентичности двух плотностей распределения.

Затем определяется математическое ожидание выборки и среднеквадратическое отклонение. По ним вычисляются вероятности попадания числа в каждый из интервалов. Исходя из этих вероятностей вычисляется значение критерия Х² и сравнивается с критическим значением Хкр. Из результатов сравнения делается вывод о принятии и отвержении гипотезы о принадлежности случайного числа нормальному закону распределения.

Таблица имен

2. Текст программы

using System;

using System. Collections. Generic;

using System. ComponentModel;

using System. Data;

using System. Drawing;

using System. Text;

using System. Windows. Forms;

namespace oed4

{

public partial class Form1: Form

{

public Form1 ()

{

InitializeComponent ();

}

private double Laplas (double X)

{

double F = 0;

double dt=Math. Abs (X/1000);

for (int i = 0; i < 1000; i++)

F += Math. Exp (-i * dt * i * dt / 2) * dt;

F /= Math. Sqrt (2 * Math. PI)*Math. Sign (X);

return F;

}

private void button1_Click (object sender, EventArgs e)

{

// получение данных

int N = Convert. ToInt32 (textBox1. Text); // объем выборки

double M = Convert. ToDouble (textBox2. Text); // мат. ожидание

double S = Convert. ToDouble (textBox3. Text); // среднекв. отклонение

Random R = new Random (); // генератор случайных чисел

List Y1 = new List (N); // выборка

// генерация выборки № 1

for (int i = 0; i < N; i++)

{

double sum = 0; // сумма 12 чисел

for (int ii = 0; ii < 12; ii++)

sum += (double) R. NextDouble (); // генерация случайного числа

Y1. Add ((M + S * (sum — 6))); // помещение числа в массив

}

// генерация выборки № 2 — аналогично

List Y2 = new List (N);

for (int i = 0; i < N; i++)

{

double sum = 0;

for (int ii = 0; ii < 12; ii++)

sum += (double) R. NextDouble ();

Y2. Add ((M + S * (sum — 6)));

}

int k = (int) (1 + 3.32 * Math. Log10 (N)); // число интервалов

// поиск пределов

double xmin = Y1 [0], xmax = Y1 [0];

for (int i = 0; i < N; i++)

{

if (Y1 [i] < xmin) xmin = Y1 [i];

if (Y1 [i] > xmax) xmax = Y1 [i];

if (Y2 [i] < xmin) xmin = Y2 [i];

if (Y2 [i] > xmax) xmax = Y2 [i];

}

// анализ выборок

double dx = (xmax — xmin) / k; // шаг

List cnt1 = new List (k); // число элементов из 1 выборки в каждом интервале

List cnt2 = new List (k); // число элементов из 2 выборки в каждом интервале

List xmed = new List (k); // среднее значение

double xi1 = 0; // значение критерия согласия

for (int i = 0; i < k; i++)

{

double sum = 0; // сумма значений интервала

cnt1. Add (0);

cnt2. Add (0);

for (int j = 0; j < N; j++) // анализ интервала

{

if ((Y1 [j] > xmin + i * dx) && (Y1 [j] <= xmin + (i + 1) * dx))

{

cnt1 [i]++;

sum += Y1 [j];

}

if ((Y2 [j] > xmin + i * dx) && (Y2 [j] <= xmin + (i + 1) * dx))

{

cnt2 [i]++;

sum += Y2 [j];

}

}

if (cnt1 [i] + cnt2 [i] == 0)

xmed. Add (0);

else xmed. Add (sum / (cnt1 [i] + cnt2 [i])); // вычисление суммы

if (cnt2 [i]≠ 0)

xi1 += (cnt1 [i] - cnt2 [i]) * (cnt1 [i] - cnt2 [i]) / (double) cnt2 [i]; // вычисление критерия

}

// вычисление критического значения критерия

const double u = 1.645;

double v = k — 1;

double xikr = v * (1 — 2 / v / 9 + u * Math. Sqrt (2 / v / 9));

string Result1= «Нулевая гипотеза об отсутствии статистически значиых различий между выборками»;

if (xi1

else Result1+= «Отвергается»;

// вычисление мат. ожидания

double mid = 0;

for (int i = 0; i < k; i++)

mid += xmed[i] * (cnt1 [i] + cnt2 [i]);

mid /= N*2;

// вычисление квадрата отклонения

double sr = 0;

for (int i = 0; i < k; i++)

sr += (xmed[i] - mid) * (xmed[i] - mid) * (cnt1 [i] + cnt2 [i]);

sr = Math. Sqrt (sr / (N*2 — 1) + (xmax — xmin) * (xmax — xmin) / 12);

List P = new List (k); // вероятность попадания величины в интервал

for (int i = 0; i < k; i++)

{

double a = xmin + dx * i;

double b = xmin + dx * (i+1);

double p = Laplas ((b — M) / S) — Laplas ((a — M) / S);

P. Add (p);

}

double xi2 = 0;

for (int i = 0; i < k — 1; i++)

xi2 += Math. Pow ((cnt1 [i] + cnt2 [i] - 2 * N * P[i]), 2) / (2 * N * P[i]);

double v2 = k — 3;

double xi2kr = v2 * (1 — 2 / v2 / 9 + u * Math. Sqrt (2 / v2 / 9));

string Result2 = «Гипотеза о нормальном законе распределения»;

if (xi2 < xi2kr) Result2 += «Принимается»;

else Result2 += «Отвергается»;

// вывод графика

float SX = (float) pictureBox1. Width / k;

float SY = (float) pictureBox1. Height / N;

Bitmap bmp = new Bitmap (pictureBox1. Width, pictureBox1. Height);

Graphics gr = Graphics. FromImage (bmp);

gr. Clear (Color. White);

// оси

for (int i = 1; i < k; i++)

{

gr. DrawLine (Pens. LightGray, i * SX, 0, i * SX, pictureBox1. Height);

gr. DrawString (Convert. ToString (xmin+ i * dx), Font, Brushes. Black,

i * SX, 0);

}

for (int i = 1; i < 4; i++)

{

gr. DrawLine (Pens. LightGray, 0, i * SY * N / 4,

pictureBox1. Width, i * SY * N / 4);

gr. DrawString (Convert. ToString (N — i * N / 4), Font,

Brushes. Black, 0, i * SY * N / 4);

}

// график

for (int i = 0; i < k; i++)

{

double f = 1 — 1 / Math. Sqrt (2 * Math. PI) / sr * Math. Exp (-Math. Pow ((xmin + dx * i — mid), 2) / 2 / sr /sr);

double f1 = 1 — 1 / Math. Sqrt (2 * Math. PI) / sr * Math. Exp (-Math. Pow ((xmin + dx * (i + 1) — mid), 2) / 2 / sr/sr);

gr. DrawLine (Pens. Red, i * SX, (float) f * N * SY, (i + 1) * SX, (float) f1 * N * SY);

gr. DrawLine (Pens. Black, i * SX, (float) (N — cnt1 [i] - cnt2 [i]) * SY,

(i + 1) * SX, (float) (N — cnt1 [i] - cnt2 [i]) * SY);

}

for (int i = 0; i < k-1; i++)

gr. DrawLine (Pens. Green, (i+0.5f) * SX, (float) (1 — P[i]) * N * SY, (i + 1.5f) * SX, (float) (1 — P [i+1]) * N * SY);

pictureBox1. Image = bmp;

MessageBox. Show («Критерий согласия:» + xi1. ToString () + «n» +

«крит. значение» + xikr. ToString () + «n"+

Result1+"n"+

«Математическое ожидание» + mid. ToString () +

«среднеквадратичное отклонение» + sr. ToString () +

«Критерий согласия:» + xi2. ToString () + «n» +

«крит. значение» + xi2kr. ToString () + «n"+

Result2+"n");

}

}

}

3. Шаблон ввода входных данных

4. Результаты работы программы

алгоритм программа плотность пирсонг

Выводы

Был разработан алгоритм и написана программа на языке С#, генерирующая значения случайных величин, имеющих нормальный закон распределения. С помощью ее удалось проверить гипотезу об идентичности двух плотностей распределения, используя критерийПирсона, а также проверить гипотезу о принадлежности случайного числа нормальному распределению.