Задание группы порождающими и соотношениями

Мы уже привели много примеров групп. Определялись эти группы в основном путем явного описания множества и операции на нём (в случае конечных групп это можно сделать, скажем, с помощью таблицы Кэли). Далее мы рассмотрим другие способы задания группы. Например, ниже будет доказана теорема Кэли (теорема 1.37, с. 39), которая утверждает, что всякую конечную группу можно задать как подгруппу группы перестановок. Можно также строить группы из уже имеющихся. Например, в предыдущем разделе были приведены примеры центра и нормализатора, см. также ниже конструкцию прямого произведения групп в примере 1.35.

В этом разделе мы рассмотрим задание группы порождающими и соотношениями.

Пусть есть подмножество S группы G. Пересечение подгрупп является подгруппой (утверждение 1.17). Возьмем пересечение всех подгрупп группы G, содержащих подмножество S. Это наименьшая подгруппа группы G, содержащая множество S. Она называется подгруппой, порожденной S (обозначается (5)). По определению подгруппы, в {S) входит единица, элементы 5, обратные к ним, все возможные произведения элементов S и их обратных по 2, 3, 4, и т. д. сомножителей.

Говорят, что группа G пороо1сдается множеством М своих элементов, если G = (Л/). Множество М в таком случае называется множеством порождающих. Например, из формулы (1.2) на с. 19 следует, что группа перестановок S_n порождается множеством циклов (iН2 … г к) всех возможных длин.

Основная идея задания группы порождающими и соотношениями состоит в том, чтобы указать (небольшое, обычно конечное) количество элементов группы, которое порождает группу (). Все остальные элементы группы записываются как произведения степеней порождающих. Конечно, не все такие выражения дают различные элементы. Часть равенств следует непосредственно из групповых аксиом (например, всегда (ab)~^l = b~^la~^l). Помимо этого могут выполняться дополнительные равенства. Их можно задать, указав такое множество соотношений между порождающими (равенств), что все другие равенства следуют из соотношений и групповых аксиом.

Мы не будем давать формального определения задания группы порождающими и соотношениями. Ограничимся тем, что приведем два примера.

Пример 1.29 (циклическая группа). Один порождающий элемент а и одно соотношение а^п = 1. Ясно, что любое выражение, составленное из а, с учетом соотношения а^п = 1 равно а^к, 0 ^ к ^ п — 1. С другой стороны, все а^к, 0 ^ к ^ п — 1, различны. Иначе выполнялось бы соотношение а⁹ = 1, 1 ^ s < п,

что невозможно. Строгое доказательство последнего утверждения уже требует введения дополнительного формализма, поэтому ограничимся нестрогим объяснением: поскольку существует циклическая группа С_п порядка п, в которой a^s Ф 1 при 1 < s < п, то соотношение a^s = 1 не следует из соотношения а^п = 1. Последнее рассуждение называется построением модели.

Пример 1.30 (диэдралъпая группа). Группа D_n {п ^ 3).

имеет ось n-го порядка С_п и перпендикулярную ей ось второго порядка С2. Обозначим поворот на 2п/п вокруг С_1Х через г, а поворот на угол тг вокруг С2 через р. Очевидно, что.

Заметим, что если повернуть /г-угольник на угол 2тг/п, ось второго порядка перейдет в другую ось второго порядка. Это означает, что.

Три соотношения (1.6), (1.7) порождают группу диэдра. Действительно, из (1.7) следует, что ргр = г. Значит,.

поэтому любое произведение элементов р и г равно такому произведению, в котором р встречается не более одного раза. С учетом (1.6) таких выражений l + 3(n — 1) штук: 1 = р° = г, г^к, рг^к, г^кр, где 1 ^ к ^ п—1. Но из (1.7) следует, что гр = рг^-1, поэтому.

Итак в группе, порожденной соотношениями (1.6), (1.7), не более 2п элементов. Поэтому она совпадает с D_n (опять используем рассуждение с моделью).

Уже из этих примеров видно, что анализ группы, заданной порождающими и соотношениями, труден. Более того, оказывается, что не существует алгоритма, который бы проверял по системе порождающих и соотношений, что заданная ими группа нетривиальна (отлична от единичной группы).