Площади поверхности тел

Площадь поверхности тел вращения

Площадь поверхности кругового цилиндра

Различают площадь боковой S_бок цилиндра и площадь S поверхности цилиндра.

Площадью поверхности цилиндра называют сумму площадей боковой поверхности и площадей оснований цилиндра.

Теорема 3.5. Площадь боковой поверхности кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:

где К — радиус основания, Н — высота цилиндра.

Доказательство. Вычислим искомую площадь, используя определение.

Тело F_h, о котором говорится в определении, заключено между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R+h, R-h (h>0), и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра и отстоящими на расстоянии Н + 2h (рис. 3.6). Поэтому.

С другой стороны, тело F_h, полностью содержит в себе тело, заключенное между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R + h и R — h, и двумя плоскостями оснований, расстояние между которыми Н, поэтому V_h > V₄ — V₃ = (R+h)²H-(R-h)²H=4RhH.

Имеем: 4RhH < V_h. < 4Rh (Н + 2h). Разделив неравенства на 2h, получим 2Rh < V_h/2h=2R (H+2h).

При h0 H+2hH и правая и левая части неравенства стремятся к 2RH, поэтому.

Задача 3.4. Полуцилиндрический свод подвала имеет длину 6 м и диаметр 5,8 м. Найти площадь поверхности подвала.

Решение. Площадь поверхности S подвала складывается из площади S_п пола (прямоугольник), площади S_б боковой поверхности полуцилиндра и площади S_к двух полукругов:

Задача 3.5. Площадь боковой поверхности цилиндра развертывается в квадрат, диагональ которого 2 (рис. 3.7). Определить объем цилиндра.

Решение. Сторона квадрата а, радиус основания цилиндра r. Имеем: