Решение уравнения с помощью табличного процессора Excel и математического пакета MathCAD

Постановка задачи:

Решить заданное нелинейное уравнение с заданной точностью в среде Excel. Корни отделить графическим методом.

Решить заданное уравнение с заданной точностью в среде MathCAD. Корни отделить графическим методом.

1. Для отделения корней в MS Excel построим график функции .

Из данного графика видно, что уравнение имеет 2 корня. Найдем их значение при помощи метода Поиск решения.

Описание метода Поиск решения:

Задачи, которые можно решать с помощью Поиска решения, в общей постановке формулируются так:

Найти: х1, х2, …, хn такие, что: F (х1, х2, …, хn) > {Max; Min; = Value} при ограничениях: G (х1, х2, …, хn) > {Value; Value; = Value}.

Искомые переменные — ячейки рабочего листа Excel — называются регулируемыми ячейками. Целевая функция F (х1, х2, …, хn), называемая иногда просто целью, должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:

найти максимум целевой функции F (х1, х2, …, хn);

найти минимум целевой функции F (х1, х2, …, хn);

добиться того, чтобы целевая функция F (х1, х2, …, хn) имела фиксированное значение: F (х1, х2, …, хn) = a.

Функции G (х1, х2, …, хn) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств. На регулируемые ячейки можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда искомое решение ищется в области положительных и/или целых чисел.

Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного программирования. Такие задачи обычно проще сформулировать, чем решать. И тогда для решения конкретной оптимизационной задачи требуется специально для нее сконструированный метод. Решатель имеет в своем арсенале мощные средства решения подобных задач: метод обобщенного градиента, симплекс-метод, метод ветвей и границ.

Для нахождения корней уравнения введем в окно Поиск решения следующие значения:

В параметрах метода установим необходимую нам точность.

В результате получим:

Обычный режим отображения:

Режим отображения формул:

2. Для отделения корней в пакете MathCAD построим график функции .

Из данного графика видно, что уравнение имеет 2 корня. Найдем их при помощи функции root.

Описание функции root:

Для численного поиска корней уравнения в программе MathCad используется функция root. Она служит для решения уравнений вида.

f (x)=0,.

где f (x) — выражение, корни которого нужно найти, а x — неизвестное. Для поиска корней с помощью функции root, надо присвоить искомой переменной начальное значение, а затем вычислить корень при помощи вызова функции: гооt (f (x), x). Здесь f (x) — функция переменной x, используемой в качестве второго параметра. Функция root возвращает значение независимой переменной, обращающее функцию f (x) в 0.

Пример:

x := 1.

root (2*sin (x)-x, x)=1.895.

Или то же самое в другом виде:

x:= 1 y (x):= 2*sin (x)-x.

root (y (x), x)=1.895.

Если уравнение имеет несколько корней (как в данном примере), то результат, выдаваемый функцией root, зависит от выбранного начального приближения.