Моделирование стационарных процессов с типовыми корреляционными функциями

Во многих промышленных объектах в автоматизированных системах управления наблюдаются сигналы, которые достаточно хорошо описываются моделями стационарных случайных процессов с типовыми корреляционными функциями. Возмущения в динамических системах часто задаются также в виду гауссовских стационарных процессов с типовыми корреляционными функциями и дробно-рациональными спектральными плотностями.

Основываясь на рассмотренных в пп. 2.1 и 2.2 методах, получим алгоритмы для моделирования гауссовских стационарных случайных процессов с некоторыми типами корреляционных функций. В табл. 2.1 приведены корреляционные функции спектральные плотности случайных процессов и соответствующие им передаточные функции формирующих фильтров.

Системы дифференциальных уравнений вида (2.14) для моделирования формирующих фильтров на ЭВМ представлены в табл. 2.2. При этом Там же даны значения шага интегрирования при котором обеспечивается заданная точность воспроизведения спектральной плотности (2.12) в установленном диапазоне частот. Корреляционная функция получается в результате предельного перехода при из корреляционной функции.

Моделирующие алгоритмы получаются из формул табл. 2.2 при Для исключения переходного процесса начальные условия в дифференциальных уравнениях (табл. 2.2) следует задавать как реализацию случайного вектора Подставляя в (2.57) параметры корреляционных функций, определяем корреляционные моменты значения и приведены в табл. 2.3.

Приведенные в табл. 2.1 типовые корреляционные функции имеют следующие случайные возмущения, встречающиеся в приложениях: атмосферную турбулентность [43]; шумы в следующих системах [71, 130] и информационно-измерительных устройствах [69]; неоднородности земной поверхности [81]; сейсмические нагрузки [123]; характеристики грузопотоков [154], процессы в парогенераторах промышленных котельных [26] и в других объектах.

Получим дискретные модели, позволяющие моделировать процессы с типовыми корреляционными функциями без методических ошибок. Процесс с экспоненциальной.

Таблица 2.1.

№ пп.

Таблица 2.2.

№ пп.	Уравнение фильтра.	Параметры.

Таблица 2.3.

корреляционной функцией рассматривался в примере 2.1 (формула 2.54). Процессы с корреляционными функциями приведенными в табл. 2.1, имеют спектры второго порядка вида (2.55). Представление в виде компоненты марковского процесса имеет вид (2.56), где, а значения остальных параметров приведены в табл. 2.4. Дискретная модель определяется уравнениями (2.63), где значения определяются подстановкой данных табл. 2.4 в формулы (2.59)-(2.61). Окончательные выражения для, через параметры Таблица 2.4.

	. . .

корреляционных функций приведены в табл. 2.5. Коэффициенты связаны с формулами (2.62).

Стационарные случайные процессы с дробно-рациональной спектральной плотностью (2.55) могут моделироваться с помощью уравнения типа авторегрессиискользящее среднее:

Для определения параметров уравнения (2.68) найдем спектральную плотность последовательности Функция является элементом матричной спектральной плотности последовательности (2.63) и определяется формулой [4].

где матрица, сопряженная по Эрмиту к. Обратная к матрице порядка легко находится с помощью присоединенной матрицы. Подставим в формулу (2.69) элементы матриц и, получим выражение для спектральной плотности:

где в знаменателеопределитель матрицы постоянные равны.

,

,

Для процессов с типовыми корреляционными функциями, коэффициентов выполним факторизацию числителя, т. е. представим его в виду.

.

Корни трехчлена.

В качестве примем тот из корней, который по модулю меньше единицы, он определяется формулой.

Второй корень равен. Разлагая трехчлен на линейный множители, преобразуем к виду.

где — положительная величина. Отсюда следует.

где, ,.

Для того, чтобы избавиться от переходного процесса, необходимо разыгрывать начальные условия как гауссовский четырехмерный случайный вектор с нулевым средним и корреляционной матрицей.

Для удобства пользования дискретный алгоритм моделирования процессов с типовыми корреляционными функциями и его параметры представлены в табл. 2.6. Приведенные в таблице выражения совпадают с формулами табл. .2.2 работы [16].