Приведение уравнения Риккати к уравнению Бернулли

Для начала представим этот метод решения в общем виде:

Дано уравнение:

y' + P (x)y + Q (x)y2 = C (x).

Данное уравнение является уравнением Риккати. В общем случае это уравнение не интегрируется в квадратурах. Однако, зная частное решение уравнения Риккати, мы можем его свести к уравнению Бернулли, т. е. сделать его линейным.

Пусть частное решение исходного уравнения имеет вид ш (x), тогда:

ш'(x) + P (x) ш (x) + Q (x) ш2(x) = C (x).

Тогда y = z + ш (x):

z' + ш'(x) + P (x)z + P (x)ш (x) + Q (x)z2 + Q (x)ш2(x) + 2Q (x)zш (x) = y (x).

z' + P (x)z + Q (x)z2 + 2Q (x)zш (x) = 0.

z' + P (x)z + 2Q (x)zш (x) = -Q (x)z2.

Получили уравнение Бернулли, далее решаем его как линейное дифференциальное уравнение I порядка по предложенным выше методам.

Пример № 1:

x2y' + xy + x2y4 = 4.

Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде.

y = axm:

аx2mxm-1 + axxm + a2x2x2m = 4.

Степени обоих частей должна совпадать, поэтому.

m + 1 = 0 => m = -1.

Подставив m = -1 в полученное уравнение найдем a:

— a + a + a2 = 4.

a2 = 4.

a = 2.

Таким образом, частное решение y =. Делаем замену:

y = z +.

y' = z' - 2/x2.

x2(z' - 2/x2) + x (x +) + x2(x +)2 = 4.

x2z' - 2 + xz + 2 + x2z2 + 4 + 4xz = 4.

x2z' + 5xz + x2z2 = 0.

Разделим уравнение на х:

xz' + 5z + xz2 = 0.

Получили уравнение Бернулли. Поделим уравнение на z2:

xz'/z2 + 5/z + x = 0.

Сделаем замену = t:

— xt' + 5t + x = 0.

Решим однородное уравнение, разделяя переменные и интегрируя его:

— xt' + 5t = 0.

Xt' = 5t.

x = 5t.

= 5.

= 5.

lnt = 5lnx + lnC.

t = Cx5.

Найдем производную и подставим ее и решение однородного уравнения в исходное уравнение:

t' = 5Cx4 + C’x5.

— 5C'x5 — C’x6 + 5Cx5 + x = 0.

C’x6 = x.

C' = 1/x5.

Разделим переменные и проинтегрируем:

= 1/x5.

dc = x-5dx.

=.

C = x-4/-4 + C.

t = (-x + Cx5).

Делаем обратную замену:

z = = 4/(-x + 4Cx5) y = z + = 4/(-x + 4Cx5) + y = 4/(-x + 4Cx5) +.

Ответ: y = 4/(-x + 4Cx5) +; C є R.

Пример № 2:

xy' - (2x + 1) y + y2 = -x2.

Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде.

y = ax + b.

Подставим его в уравнение:

Ax — (2x + 1)(ax + b) + (ax + b)2? -x2 =>2ab — 2b = 0; a = 1; -b + b2 = 0.

Возможны два решения системы уравнений: a = b = 1 или a = 1, b = 0. Тогда y = x — частное решение. Сделаем замену.

y = x +: x (1 —) — (2x + 1)(x +) + (x +)2 = -x2.

xz' + z — 1 = 0 xz' = 1 + z.

x = 1+z =.

= = +.

lnx = z + lnz + lnC.

z = 1 +.

Делаем обратную замену:

y = x +.

Ответ: y = x +; C є R.

Пример № 3:

3y' + y2 + 2/x2 = 0.

Это уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде.

y = - => y' = a/x2.

Подставим y и y' в исходное уравнение:

3a/x2 + a2/x2 + 2/x2 = 0 =>

a2 + 2a + 2 = 2.

a1,2 = [a1 = -2; a2 = -1.

Возьмем, а = -1, тогда:

y =.

Сделаем замену.

y = z +, тогда y' = z' - 1/x2.

• 3(z' - 1/x2) + (z +)2 + 2/x2 = 0
• 3z' - 3/x2 + 1/x2 + + z2 + 2/x2 = 0
• 3z' + + z2 = 0

Разделим обе части на z2:

3(z'/z2) + + 1 = 0.

Сделаем замену t = :

— 3t' + t + 1 = 0.

Решим однородное уравнение:

• -3t' + t = 0
• 3t' = t
• 3 = t

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение:

• 3 = 2
• 3 = 2
• 3lnt = 2lnx + lnC

t3 = x2C.

t = Cx2/3.

Предположим, что.

С = С (х),.

тогда:

t' = C’x2/3 + x-1/3C.

• -3(C'x2/3 + x-1/3C) + Cx2/3 + 1 = 0
• -3 C’x2/3 — 2 x-1/3C + 2 x-1/3C + 1 = 0
• 3 C’x2/3 = 1

Разделим переменные и продифференцируем полученное выражение:

• 3 x2/3 = 1
• 3dc = dx/ x2/3
• 3 =
• 3C = 3×1/3 + 3C1

C = x1/3 + C1.

Подставляем и делаем обратную замену:

t = x + C x2/3 =>

z = 1/(x + C x2/3).

y = + 1/(x + C x2/3).

Ответ: y = + 1/(x + C x2/3); y =; C є R.

Пример № 4:

y' - 2xy + y2 = 5 — x2.

Уравнение является уравнением Риккати, поэтому найдем его частное решение в виде.

y = ax + b:

a — 2x (ax + b) + a2x2 + 2abx + b2 = 5 — x2.

a — 2ax2 — 2bx + a2x2 + 2abx + b2 — 5 + x2 = 0.

Пусть, а = 1 и b = 2, тогда y = x + 2 — частное решение. Сделаем замену.

y = x + (+ 2).

• 1 — z'/z2 — 2x (x + 2 +) + (x2 + (1/z2 + 4/z + 4)) + 2x (2 +) = 5 — x2
• 1 — z'/z2 — 2×2 — 4x — + x2 + 1/z2 + 4/z + 4 + 4x + - 5 + x2 = 0

Приводим подобные слагаемые и получаем:

— z'/z2 + 4/z + 1/z2 = 0.

Умножаем полученное уравнение на z2:

— z' + 4z + 1 = 0.

z' - 4z — 1 = 0.

Решим однородное уравнение:

z' - 4z = 0.

z' = 4z.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение:

= 4z.

= 4dx.

= 4.

lnz = 4x + C.

z = Ce4x — ј.

Делаем обратную замену:

y = x + 2 + 1/ (Ce4x — ј) = x + 2 + 4/ (Ce4x — 1).

Ответ: y = x + 2; y = x + 2 + 4/ (Ce4x — 1); C є R.

Пример № 5:

y' + 2yex — y2 = e2x + ex.

y' + 2yex — y2 = ex (ex + 1).

Данное уравнение является уравнением Риккати, приведем его к уравнению Бернулли, подобрав частное решение вида.

y = ex + b:

ex + 2ex + 2bex — e2x — 2bex — b2 = 0.

ex + e2x — b2 = 0 => -b2 = 0; b = 0.

y = ex — частное решение.

Сделаем замену.

у = ex + z:

(ex + z)' + 2(ex + z) ex — (ex + z)2 = e2x + ex.

ex + z' + 2e2x + 2zex — e2x — 2zex — z2 = e2x + ex.

z' = z2 => z = ;

Делаем обратную замену:

y = ex ;

Ответ: y = ex —; y = ex; C є R.