Линейная независимость квазиодночленов

Определение 1.5. Квазиполином — это произведение экспоненты на полином, т. е. функция вида Q (t)e^_f где X е С, a Q (t) — полином над полем вещественных чисел. В частности, квазиодночлен — это произведение экспоненты на одночлен.

Таким образом, экспонента и полином также являются квазиполиномами. При этом степенью квазиполинома называется степень полинома Q (t).

Посмотрим, как меняется порядок квазиполинома при дифференцировании:

где R (t) = XQ (0 + (240;

Таким образом, если X Ф 0, то degQ = clegR, а если X = 0, то degQ > degR.

Лемма 1.1. Рассмотрим т штук квазиполиномов.

т.

таких что Х_х, Х₂, •••"К" попарно различны. Тогда? = 0 тогда и толь;

;=1.

ко тогда, когда = О, Q₂(0 = 0″ •••" 0/,/(0 = 0.

Доказательство. Используем метод математической индукции.

Для т = 1 утверждение леммы справедливо. Сумма, состоящая из единственного слагаемого, равна нулю тогда и только тогда, когда это слагаемое равно нулю, а на можно сократить.

Пусть утверждение теоремы верно для некоторого числа т. Докажем его для т + 1. Предположим, что.

Докажем, что Q_{(t) = Q₂(t) ⁼ ••• ⁼ Qm (0 ⁼ Qm+1(0 ⁼ 0- Д^ля этого умножим выражение (1.6) на е~^т+*. Получим.

Заметим, что:

• 1) Х}Ф 0J =1,2, …, /77, потому что Х₂,…, X_w X_m+i попарно различны;
• 2) р₂,…, р_т — попарно различны.

Продифференцировав равенство (1.7) достаточное число раз для того, чтобы полином Q_m+X(t) исчез, получим.

тогда по индукционному предположению Rj (t) = 0 J = 1,2,…, т. Но degRj = = degQj, j =1,2,…, /гг, потому что ^Ф 0, так как Х^Ф Х_т+{J =1,2,…, т. Значит, 0,(0 = 0,7 =1,2,…, /77. Тогда и Qm₊₁(t) = 0.

Лемма 1.2. Пусть имеется п различных квазиодночленов.

Тогда они линейно независимы над полем комплексных чисел.

п, .

Доказательство. Составим линейную комбинацию? с^е^к* =0.

;⁼¹

Не умаляя общности, будем считать, что Х_{, Х₂, Х_т — это т попарно различных чисел, а Х_т+1, Х_т+2, Х_п — это те, которые повторяются. Соберем коэффициенты при одинаковых X:

Здесь Д е {т + 1,…, п) — тот индекс, для которого выполняется равенство Xj =X_V {т + 1,п} — тот индекс, для которого выполняется равенство Xj = Х_т. Все наши с_} в какую-нибудь скобочку обязательно войдут. Мы имеем т квазиполиномов с различными X. По лемме 1.1 все эти полиномы равны тождественно нулю. Рассмотрим первый из них:

Очевидно, что иначе было бы два одинаковых квазиодночлена, что противоречит условию, поскольку X у них одно и то же. Из тех же соображений все степени одночленов в первой скобке различны. А поскольку все степени разные и сумма равна нулю тождественно, значит, все коэффициенты при этих степенях равны нулю:

Те же рассуждения верны и для каждого из оставшихся полиномов Q₂(t)_y <2з (0… QJf).