Вывод передаточной функции фильтра по структуре Рауха

В варианте данной курсовой работы предложено спроектировать фильтр нижних частот девятого порядка, используя структуру Рауха.

С целью вывода передаточной функции фильтра нижних частот по структуре Рауха рассмотрим отдельно фильтр второго порядка и фильтр первого порядка, которую будут соединены каскадно:

Рис. 3.1 — Структурная схема фильтра 9-ого порядка

Построим принципиальную схему фильтра нижних частот второго порядка на операционном усилителе.

Рис. 3.2 — Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

Найдем передаточную функцию данного звена:

(3.1).

Применим первый и второй законы Кирхгофа:

(3.2).

(3.3).

Выражая токи через проводимости получим:

(3.4).

(3.5).

(3.6).

(3.7).

(3.8).

(3.9).

Ток i₄ протекает через проводимость Y₄ и втекает в ветвь с проводимостью Y₅ без потерь. Подставим (3.7), (3.8), (3.6) в (3.2), а затем получившееся выражение подставим в (3.5):

(3.10).

Подставим (3.4) в (3.10) и преобразуем, чтобы получить окончательное выражение для передаточной функции:

(3.11).

(3.12).

Общая же формула передаточной характеристики фильтра нижних частот имеет вид:

(3.13).

Из выражения видно, что числитель не зависит от частоты. Анализируя выражения передаточной характеристики фильтра, определим типы проводимостей для обеспечения требуемой степени p. Так, сделаем вывод о том, что проводимости Y₄, Y₃ и Y₁ должны заменить резисторы, а проводимости Y₂ и Y₅ — емкости:

Подставив (3.14) в (3.12) и преобразовав к виду (3.13), получим:

(3.15).

Таким образом, коэффициенты нормированного ФНЧ-прототипа для одного звена второго порядка можно представить следующим образом:

(3.16).

С учётом (3.14) построим принципиальную схему фильтра.

Рис. 3.3 — Функциональная схема структуры Рауха второго порядка

Данное функциональное звено представляет собой активный фильтр второго порядка, построенный на основе операционного усилителя.

Построим принципиальную схему фильтра нижних частот первого порядка на операционном усилителе по аналогичной схеме.

Рис. 3.4 — Функциональная схема структуры Рауха первого порядка

Применим первый и второй законы Кирхгофа:

(3.17).

(3.18).

(3.19).

(3.20).

Подставим (3.19) и (3.20) в (3.17), а затем получившееся выражение подставим в (3.18):

(3.21).

Преобразовав (3.21), получим передаточную характеристику:

Общая же формула передаточной характеристики фильтра нижних частот имеет вид:

(3.23).

Проанализируем эти два выражения. Видно, что проводимости Y₁, Y₂, Y₄ должны заменить резисторы, а проводимость Y₃ — емкость:

(3.24).

Подставим (3.24) в (3.22) и преобразуем к виду (3.23):

(3.25).

Сравним это выражение с передаточной характеристикой ФНЧ и составим систему уравнений (заранее примем для простоты расчетов):

(3.26).

С учётом (3.24) построим принципиальную схему фильтра.

Рис. 3.5 — Функциональная схема структуры Рауха первого порядка