Подходы к оптимизации

Существует несколько подходов к оптимизации.

1. Критерии, различные по значимости.

y1 > y2 > y3 — располагаем критерии по значимости.

Проводим оптимизацию по самому важному критерию у1 не обращая внимания на другие критерии.

Исходная таблица.

Результирующая таблица.

x1 = 7, x2 = 6 — оптимальное решение для критерия y1.

Выражение уступки по 1-му критерию:

В левой части пишется выражение критерия, по которому мы уступаем. В правой части — произведение коэффициента уступки на оптимальное значение критерия. Если критерий максимизируется, то коэффициент уступки Куст? 1, а правая и левая части соединяются знаком "? «. Если критерий минимизируется, то Куст > 1, а правая и левая части соединяются знаком »? «.

x1 + 5×2 >= Куст. * y1*.

Пусть Куст = 0.9.

Тогда дополнительное ограничение будет иметь вид:

x1 + 5×2 >= 0.9 * 37.

Система ограничений будет иметь вид:

Решаем задачу по второму критерию.

x1 = 7, x2 = 6 — оптимальное решение.

Kуст = 0.8.

x1 + 0.25×2 >= 6.8 — дополнительное ограничение.

x1 = 5.4; x2 = 5.5 — параметры, удовлетворяющие всем трем критериям.

2. Критерии равнозначны.

К исходной системе ограничений добавляется уравнение равнозначности:

где у1*, у2*, у3* - оптимальные значения критериев при однокритериальной оптимизации:

у1* - оптимальное значение по первому критерию не обращая внимания на другие критерии и т. д.

По этим критериям несем потери. Уравнение равнозначности означает, что относительные потери по всем критериям должны быть равны. Знаки модуля вводят нелинейность.

Рассуждая логично, знаки модуля можно снять. Если критерий максимизируется, то всегда у1 < у1*:

y1*=37, y2*=8.5, y3*=5.

После преобразований получаем систему неравенств:

линейный неравенство критерий планирование Оптимизация производится по любому из критериев. Н-р: y1 -> max.

Решений нет. Система ограничений несовместна.

3. Метод оптимизации номинала.

Если критериев много, то ищут точку внутри области примерно на равном расстоянии от границы области. В большинстве случаев применяется квадратичный критерий.

Исходная система ограничений:

(*).

Левые части обозначим:

Берём у1 как целевую функцию и на множестве (*) находим максимальное и минимальное значения у1. Затем берем у2 и опять находим максимальное и минимальное значения у2 и т. д. (yi min, yi max).

— среднее значение.

Тогда система ограничений примет вид:

Это система линейных алгебраических уравнений.

.

Исходная система ограничений имеет вид:

=>

y1max = 7; y1min = 2;

y2max = 6; y2min = 2.