Применение дифференциальных уравнений при моделировании систем

Наиболее «разработанным» математическим аппаратом, который применяется для моделирования динамических систем, является аппарат дифференциальных уравнений. Модели в виде дифференциальных уравнений находят применение в системах автоматического управления (станки с число программных управлением, самонаводящиеся системы, электронные схемы, блоки управления оборудованием и прочее), а также применяют при моделировании социальных и биологических процессов. Ограничение в применении этих моделей определяется трудностью получения решений в реальном времени для моделей, которые описываются нелинейными или стохастическими дифференциальными уравнениями третьего и больших порядков. Рассмотрим виды дифференциальных уравнений, которые могут быть применены для решения задач моделирования.

Общий вид динамической системы, определяемой обыкновенными дифференциальными уравнениями

Дифференциальные уравнения описывают процесс перехода динамической системы из одного состояния в другое. Существенное значение имеет описание взаимодействия системы с внешней средой.

Входные и выходные сигналы описываются соответствующими наборами характеристик (координат):

Х (t)={х1(t), х2(t),…, хm (t)}; Y (t)={y1(t), y2(t),…, yr (t)}.

Модель динамической системы, определяемая обыкновенными дифференциальными уравнениями в общем случае, задается следующими соотношениями:

а) дифференциальными уравнениями (движения) в пространстве состояний.

(2.2).

б) соотношениями для выходных сигналов.

• в) начальными условиями при
• г) значениями входного процесса

Если для (2.2) выполнены условия существования и единственности решений, то они имеют вид.

Обозначим решение системы дифференциальных уравнений (2.2), проходящее в момент времени t0 через точку, символом F. Тогда.

определяется функцией переходов динамической системы.

Эта функция каждому набору ставит в соответствие то состояние Z (t), в которое переходит система за время перехода t-t0 из фазы (t0,Z0) под действием фрагмента .

Функцию.

которая каждому набору сопоставляет выходной сигнал yt=y (t), называют функцией выходов динамической системы.