Математическое моделирование нелинейных управляемых систем с непрерывным и разрывным управлением

Аналитические исследования устойчивости некоторых динамических систем привели к возникновению новой самостоятельной науки — теории автоматического управления (регулирования) (ТАУ) [62]. Основы этой теории принято связывать с публикациями Дж. К. Максвелла «О регуляторах» (1868), И. А. Вышнеградского «О регуляторах прямого действия» (1876) и его последователя А. Стодолы «О регулировании турбин» (1893). К настоящему времени ТАУ — общепризнанная и интенсивно развивающаяся наука, достигшая впечатляющих успехов, нашедшая широкое применение в ряде областей науки и техники и на данный момент насчитывающая огромное число методов решения разнообразных задач.

Проблема синтеза законов управления является одной из центральных задач теории автоматического управления. Под синтезом управлений обычно понимают нахождение такой зависимости управляющих воздействий от обобщенных координат объекта и от времени, чтобы он двигался в соответствии с целью управления. Различие в постановках задачи синтеза связано с различием в формулировке цели управления.

Важным этапом решения проблемы синтеза систем автоматического управления (САУ) составила теория оптимального управления, сформировавшаяся, прежде всего, на базе классического вариационного исчисления, принципа максимума Л. С. Понтрягина [82] и динамического программирования Р. Беллмана [29], разрабатывающая теорию и методы структурного синтеза таких систем в виде решения задачи синтеза алгоритмов управления для заданного объекта управления, и требующей, прежде всего, знания его математической модели. Такая модель в отличие от физического объекта составляется из идеализированных звеньев или блоков, которые должны быть достаточно строго математически описаны. При математическом описании выделяются наиболее существенные свойства и признаки конкретной системы и представляются в форме, удобной для последующего теоретического и экспериментального исследования. Результаты иследований по теории оптимальной стабилизации управляемых систем и моделированию оптимальных систем управления на основе линейных объектов (в том числе, «Метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов» (метод АКОР) Летова—Калмана), представлены в работах [5, 30, 35, 45, 58, 90].

Значительно менее исследованными были нелинейные системы, однако по мере становления теории автоматического управления постепенно на первый план стало выходить исследование таких систем управления и разработка методов их проектирования, поскольку все реальные системы заведомо нелинейные [2, 3, 42, 89].

Широкое применение в моделировании структур управления нелинейными системами получил прямой метод Ляпунова (метод функций Ляпунова) [61], составляющий основу современной нелинейной теории САУ, и включающий помимо условий устойчивости, исследование качества процессов управления и методы структурного синтеза.

Исследование моделей нелинейных систем управления началось с анализа влияния отдельных типовых нелинейностей в линейных в остальном системах, учете влияния и нейтрализации нежелательных нелинейностей (компенсация статических нелинейностей, вибрационная линеаризация зон нечувствительности и лифтов и т. д.). Затем появились работы о введении специальных нелинейностей для улучшения динамических свойств систем.

Были разработаны методы исследования нелинейных систем анализа устойчивости, качества, методы параметрического синтеза, в частности, гармоническая линеаризация, использование фазовой плоскости, компьютерное моделирование.

Конечная цель моделирования и проектирования САУ состоит в получении документации для производства и эксплуатации такой системы, которая удовлетворяла бы заданным техническим требованиям, таким как точность, быстродействие, энергопотребление, надёжность и т. д., вплоть до стоимости. Особенность моделирования САУ состоит в анализе показателей процесса управления (алгоритмы, численное значение параметров, качественные показатели процесса управления), так как при их создании весьма желательно иметь представление об их теоретически предельных возможностях. Это важно для того, чтобы оценить технический уровень разработанной системы по степени её близости к теоретически предельному уровню и, конечно, для того, чтобы, прежде всего, убедиться в принципиально реализуемости системы с требуемыми свойствами.

Для предельно простого линейного приближения, дающего строго аналитическое решение этой задачи, разработаны алгоритмы синтеза оптимальных САУ, основанные на перечисленных выше методах исследования линейных систем.

Для нелинейных САУ разработаны методы синтеза на основе прямого метода Ляпунова, но поскольку отсутствуют универсальные способы построения функций Ляпунова, алгоритмы синтеза управления нелинейной системы строятся строго для каждой системы в отдельности.

С ускоряющимся темпом научно-технического развития в середине XX в. были разработаны методы оптимизации, позволяющие численно на ЭВМ решать определенные классы задач. Это, прежде всего, уже упомянутые принцип максимума Л. С. Понтрягина (1961) [82] и метод динамического программирования Р. Беллмана (1957) [29], представляющий собой синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова [45, 53, 63], на котором базируются основные методы стабилизации движений управляемых систем, в том числе механических, на бесконечном интервале времени [19, 53−55, 92, 97] и синтеза управления на конечном отрезке времени [47, 50] с применением функции Ляпунова. На основе этих общих математических методов были разработаны уже инженерные методы синтеза САУ, ориентированные на свойства конкретных объектов управления — упомянутый выше метод АКОР Летова-Калмана (1960), метод функционала обобщённой работы (ФОР) А. А. Красовского (1973), синергетический подход А. А. Колесникова (1994), методы самоорганизующихся систем, в том числе с использованием технологий искусственного интеллекта, и т. д.

Применение теории моделирования [51, 64, 94, 110] позволяет проанализировать подходы и алгоритмы решения задач об управлении механическими системами с точки зрения их эффективности по затратам управления, времен переходного процесса и динамики. Подробно этим вопросам уделено внимание в работах [8, 71, 81].

Математическое моделирование нелинейных управляемых систем с разработкой соответствующих комплексов численного анализа и компьютерных моделей требует применения методов нелинейного анализа управляемых систем и процессов, значительно менее развитого по сравнению с их анализом в линейной и в приближенно линейной постановке. Классической задачей синтеза законов управления является задача стабилизации программных движений, когда цель управления состоит в изменении обобщенных координат объекта по заданному закону. Разработка нелинейных моделей управляющих воздействий, обеспечивающих нелокальную стабилизацию программных движений, при конечных отклонениях в ограниченной области пространства состояний, без каких-либо дополнительных упрощающих предположений, является предметом многочисленных исследований [38, 39, 85, 99, 107, 108].

Таким образом, проведенный анализ позволяет утверждать о перспективности и актуальности развития направлений по обоснованию новых моделей управления для повышения качества управляемых систем в части расширения спектра их возможных программных движений, оптимизации их параметров, точности оценки области возмущений и учета других факторов.

Цель и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы состоит в математическом обосновании новых моделей нелинейного управления конечномерными динамическими системами с выводом методов качественного и численного анализа соответствующих процессов управления, в определении эффективности новых моделей для решения задач прикладного характера.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка новой математической модели позиционного релейного управления.

2. Развитие методов качественного анализа дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

3. Разработка математических моделей управления движением твердого тела и системы связанных твердых тел.

4. Разработка соответствующего комплекса программ для численного моделирования управляемых систем.

Научная новизна. В диссертации разработаны новые методы моделирования управляемых систем с непрерывным и разрывным управлением. Построены новые нелинейные модели управления движениями твердого тела и системы связанных твердых тел.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты диссертации применимы в теоретических и практических работах по построению управлений для систем с непрерывным и разрывным управлением. Комплекс программ, представленный в диссертации, может быть использован для численного анализа и компьютерного моделирования некоторых управляемых механических и других систем.

Основные положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

1. Новые модели управляемой системы с непрерывным и разрывным управлением, которые позволяют решать широкий класс задач о стабилизации программных нестационарных движений нелинейных управляемых систем в нелокальной постановке.

2. Новые результаты качественного и численного анализа нелинейных систем. Доказаны новые теоремы о предельном поведении движений и о стабилизации невозмущенного движения на основе применения знакопостоянных функций Ляпунова.

3. Комплекс программ по управлению движением систем, моделируемых твердым телом и связкой твердых тел, в том числе: процессом сближения летательного аппарата с движущимся объектом, движением космической станции, представляемой в виде двух связанных твердых тел.

В первой главе диссертации излагается математическое обоснование применения релейных управлений.

В первом параграфе рассмотрены управляемые системы, моделируемые неавтономными дифференциальными уравнениями с непрерывным управлением. Получена теорема, используемая в дальнейшем в задачах моделирования с непрерывным управлением, являющаяся модификацией теоремы из работы [13].

Во втором параграфе рассмотрены системы, моделируемые неавтономными дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, поскольку развития таких уравнений требуют многочисленные современные задачи механики, техники и теории автоматического управления [24, 26, 28, 37, 40, 67, 70, 76, 83, 84, 86, 98, 101, 104, 107]. Результаты по исследованию таких уравнений представлены в работах многих математиков [2, 3, 102, 103, 111, 122, 127]. Было показано, что многие утверждения классической теории дифференциальных уравнений [32, 48, 91, 95, 106, 117] остаются справедливыми и для уравнений с разрывными правыми частями. Обосновано применение к таким уравнениям известных методов исследования, конечно с определенными ограничениями. Наиболее полно исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью представлены в монографии [102].

Единственным эффективным методом исследования и решения задач устойчивости, стабилизации и управления нелинейными системами является по существу прямой метод Ляпунова. Его сложность состоит в отсутствии универсальных способов построения функций и функционалов Ляпунова. Эффективность достигается модификацией, развитием и обобщением общих классических и известных теорем этого метода. Развитие прямого метода Ляпунова значительно расширяет его применение для задач управления. Например, в одной из самых известных последних монографий по управлению нелинейными системами [104] представлены материалы исключительно для стационарных систем, что связано, прежде всего, с соответствующим классом используемых подходов из теории устойчивости, в том числе, класса теорем типа.

Ляпунова. До настоящего времени решение задач о стабилизации и управлении движением нелинейных систем с применением функций Ляпунова основывались на знакоопределенных функциях [25, 42, 50, 53, 55, 84]. В последнее время целью ряда работ является развитие второго метода Ляпунова в направлении использования в задачах устойчивости знакопостоянных функций Ляпунова. Этому направлению посвящены работы [10, 15, 16, 19, 20]. Одно из направлений развития прямого метода Ляпунова основано на построении динамики уравнений и выявления качественных предельных свойств их решений. В автономном случае это свойство обращается в свойство инвариантности, являющееся достаточно известным [102].

Использование свойства инвариантности значительно расширило применимость прямого метода Ляпунова за счет использования знакоопределенных и знакопостоянных функций со знакопостоянной производной. Соответствующие теоремы для непрерывных автономных и периодических по времени уравнений получены ещё в 50 — 60-е годы в работах Н. Н. Красовского [52] и Ж. П. Ла-Салля [57], развиты в работах Н. Г. Булгакова [34], для непрерывных неавтономных уравнений в работах [11, 13, 17, 18, 49, 75, 116], для автономных уравнений с разрывной правой частью в [7, 66]. Представляется важным вывод предельных свойств решений и для неавтономных уравнений с разрывной правой частью, что также показано в данном параграфе.

На основе топологической динамики таких уравнений в области их непрерывности и с последующим достроением предельных к ним уравнений до дифференциальных включений определено свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения уравнения с разрывной правой частью. На основе этого свойства обосновано развитие прямого метода Ляпунова при использовании знакопостоянных функций Ляпунова в решении задачи устойчивости для этих уравнений и задач стабилизации и управления нелинейными управляемыми системами с кусочно-непрерывными управлениями.

Также во втором параграфе даны основные определения и доказаны теоремы об устойчивости, равномерной устойчивости, эквиасимптотической устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости.

Доказанные теоремы, приведенные в первом и втором параграфах, развивают и обобщают классические результаты непрерывных и разрывных управлений, обеспечивающих стабилизацию системы при конечных возмущениях.

В третьем параграфе рассматривается задача интегрирования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Известные схемы интегрирования могут давать большие погрешности. Предлагается использовать для контроля за вычислениями известную для системы функцию Ляпунова. Разработанные соответствующие алгоритм и программа, представленны в приложении. Этот алгоритм показан в решении задачи о стабилизации программного движения перевернутого математического маятника.

Во второй главе диссертации излагаются результаты о математическом моделировании управляемой системы связанных твердых тел, выводятся уравнения управляемого движения такой системы. Вывод удобных уравнений движения для численного интегрирования и решение всевозможных прикладных задач является предметом исследования многих ученых различных стран [31, 43, 59, 60, 68, 69, 88, 96, 100, 105, 109, 113−115, 118−125]. В диссертации, в качестве параметров, определяющих движение системы, выбраны координаты центра масс, относительные перемещения тел, их абсолютные или относительные угловые скорости, угловые переменные, определяющие положение тел. На основе полученных уравнений движения связанных твердых тел разработан алгоритм построения непрерывного и релейного управлений, обеспечивающих нелокальную стабилизацию заданного программного движения системы. Разработанный алгоритм является общим. Его реализация в виде программы представлена в моделировании управляемого движения космической станции, приведенного в параграфе 3.3 диссертации.

В третьей главе диссертации излагается эффективность построенных моделей управления, описанных выше, для решения задач прикладного значения с разработкой соответствующих алгоритмов и программ на С++.

В первом параграфе излагается решение задачи о глобальной стабилизации нестационарного поступательно-вращательного движения твердого тела переменной массы, в котором его центр масс движется с заданной переменной скоростью, а тело имеет заданную ориентацию относительно неинерциальной системы координат, непрерывными и релейными управлениями. Разработаны алгоритм и программа численного анализа процесса стабилизации, позволяющего определить возможные параметры процесса управления и область начальных возмущений.

Во втором параграфе, по аналогии с предыдущей задачей, показано решение задачи о сближении летательного аппарата с космической станцией. Разработана структура непрерывного и релейного управлений, решающих задачу сближения при любых параметрах поступательно-вращательного движения станции.

Третий параграф посвящен решению задачи о стабилизации движения космической станции, состоящей из двух твердых тел, в котором центр масс станции движется по круговой орбите, а тела находятся в одном из положений относительного равновесия, в соответствии с моделью управляемой системы связанных твердых тел, приведенной во второй главе на основе предложенного алгоритма.

В диссертации разработан комплекс программ по управлению движением систем, моделируемых твердым телом и связкой твердых тел, исходные тексты которого представлены в приложении. Также проведено численное моделирование и анализ переходного процесса всех решенных в диссертации задач.

В заключении приведены основные полученные в диссертации результаты, оценивается степень выполнения поставленных задач.

Апробация работы. Отдельные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

— Семинар Симбирской молодежной научной школы по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященный памяти академика Валентина Витальевича Румянцева (Ульяновск, 8−12 июня 2009 г.).

— Выездное заседание Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В. В. Белецкого, проф. А. В. Карапетяна и Я. В. Татаринова (Ульяновск, 15−18 июня 2010 г.).

— Выездное заседание Всероссийского семинара «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. А. В. Карапетяна (Ульяновск, 9−12 июня 2011 г.).

— XV Международная конференция «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 25−27 мая 2011 г.).

— Международная конференция «Моделирование, управление и устойчивость (МС8−2012)» (Крым, Севастополь, 10−14 сентября 2012 г.).

— Научные семинары кафедры информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, проводимые под руководством А. С. Андреева (Ульяновск, 2008;2012 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12-х печатных работах [1, 12, 21, 22, 23, 46, 72, 73, 77, 78, 79, 80], из которых 4 входят в список изданий, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 128 источников отечественных и зарубежных авторов и одного приложения. Главы разбиты на параграфы. Общий объем диссертации составляет 176 страниц, основной текст диссертации изложен на 104 страницах. Диссертация содержит 26 рисунков.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработаны новые математические модели позиционного непрерывного и релейного управлений, обеспечивающих нелокальную стабилизацию нелинейной управляемой системы.

2. Дано развитие качественной теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Описана динамика таких уравнений, получены новые результаты по прямому методу Ляпунова в исследовании их устойчивости.

3. Разработана компьютерная модель управления движением твердого тела, в том числе, в задаче сближения летательного аппарата с движущимся объектом.

4. Разработанная модель управляемого движения системы связанных твердых тел использована для численного моделирования управления движением космической станцией, составленной из двух тел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.