Инварианты виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях

0.1 Основные определения и теоремы.

Настоящая диссертация посвящена одной из бурно развивающихся теорий — теории виртуальных узлов. Теория виртуальных узлов была изобретена Л. Х. Кауфманом [Каи7].

Определение 1. Диаграммой виртуального зацепления или виртуальной диаграммой называется граф на плоскости валентности 4, имеющий следующую структуру: каждая вершина либо имеет структуру проход-переход, причем дуги прохода изображаются разрывной линией (классический перекресток, см. рис. 1), либо является виртуальным перекрестком, как показано на рис. 2.

Определение 2. Виртуальные зацепления являются классами эквивалентности виртуальных диаграмм по модулю обобщенных движений Рейдемейстера: классических движений Рейдемейстера (рис. 3) и движения объезда, которое состоит в том, что ветвь диаграммы зацепления, содержащая последовательно несколько виртуальных перекрестков, но не содержащая классических перекрестков, может быть преобразована в любую другую ветвь с теми же начальной и конечной точками, а на месте новых пересечений и самопересечений ставятся виртуальные перекрестки (рис. 4) переход проход.

Рис. 1: Локальная структура классического перекрестка.

Рис. 2: Виртуальный перекресток.

Определение 3. Виртуальным узлом называется виртуальное зацепление с одной компонентой.

Теория виртуальных узлов представляет собой естественное комбинаторное обобщение теории классических узлов и описывает топологические объекты. Виртуальные узлы — это узлы в утолщенных 2-поверхностях М х /, где М — ориентированная, компактная поверхность без края, I — ориентированный отрезок. М х I рассматриваются с точностью до стабилизации/дестабилизации. Под дестабилизацией мы будем понимать следующее. Пусть 5 — некоторая нестягиваемая окружность на замкнутой двумерной ориентированной поверхности М, для которой существует цилиндр С с краями на разных краях многообразия М х {0,1}, гомотопный цилиндру С х 7, причем цилиндр С с краями не пересекает зацепления. Тогда дестабилизация — это разрезание двумерного многообразия М х / вдоль цилиндра с заклеиванием появившихся компонент края шайбами И2 х /, см. рис. 5.

Под стабилизацией будем понимать операцию, обратную к дестабилизации. Другими словами, стабилизация и дестабилизация — это.

Первое движение Рейдемейстера V.

Второе движение Рейдемейстера.

Третье движение Рейдемейстера.

Рис. 3: Классические движения Рейдемейстера.

->

Рис. 4: Движение объезда добавление и удаление ручек из поверхности так, чтобы добавляемые и удаляемые утолщенные ручки не содержали общих точек с рассматриваемым узлом (зацеплением) [Мап15].

Если рассматривать узлы в утолщенных поверхностях, то при проекции узла на плоскость появляются виртуальные перекрестки, в результате чего возникают обобщенные движения Рейдемейстера. Движения объезда, соответствующие движениям на утолщенных поверхностях, и их проекции изображены на рис. 6. Заметим, что при проекции узла на плоскость необходимо, чтобы сохранялась ориентация.

Рис. 5: Дестабилизация пары (5г х i, к) в окрестностях перекрестков.

Таким образом, каждому зацеплению в утолщенной поверхности можно сопоставить диаграмму на плоскости. Заметим, что при рассмотрении зацеплений в утолщенных поверхностях все перекрестки зацепления являются классическими, то есть необходимо доказывать инвариантность только относительно классических движений Рейде-мейстера.

Каждой виртуальной диаграмме на плоскости можно сопоставить диаграмму на поверхности следующим образом. Сначала по виртуальной диаграмме Ь мы строим поверхность с краем. В каждом классическом перекрестке диаграммы зацепления мы располагаем крест (рис. 7), а в каждом виртуальном — пару непересекающихся лент (рис. 8).

Полувиртуальное движение Первое виртуальное движение.

Рейдемейстера.

Второе виртуальное движение у Рейдемейстера.

Третье виртуальное движение Рейдемейстера.

Рис. 6: Виртуальные движения Рейдемейстера и утолщенные поверхности.

Соединяя эти кресты и ленты не перекрученными лентами, идущими вдоль дуг зацепления, мы получаем ориентируемое двумерное многообразие с краем М'. Диаграмма зацепления Ь отображается в М' таким образом, что дуги диаграммы отображаются в средние линии лент, а классические перекрестки соответствуют перекресткам внутри крестов. Заклеивая дисками граничные компоненты многообразия Мг, мы получаем ориентируемое многообразие М = М (Ь) без края с набором кривых, погруженных в него.

Определение 4. Представителем виртуального зацепления называется пара (М х I, Ь), где М х I — утолщенная двумерная поверхность, а Ь — зацепление в М х /. /.

Рис. 7: Локальная структура поверхности в классическом перекрестке.

Определение 5. Представитель виртуального зацепления называется минимальным, если к утолщенной двумерной поверхности М х I нельзя применить дестабилизацию.

Грег Куперберг доказал следующую ключевую теорему [Кир]:

Теорема 1. Минимальный представитель каждого виртуального зацепления Ь единствен с точностью до диффеоморфизма пары (М х I, Ь е М х I) на себя, переводящего верхнюю компоненту края Мх{ 1} в себя, где М — двумерное ориентированное многообразие без края, I — ориентированный отрезок.

В силу теоремы 1, важно рассматривать узлы в конкретных поверхностях. Актуальной задачей в теории виртуальных узлов является задача о том, является ли данный узел в утолщенной поверхности минимальным. В главах 1 и 2 мы будем строить инварианты узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях, а в главе 3 — инварианты виртуальных узлов. Оба вопроса актуальны в теории виртуальных узлов.

Определение 6. Назовем дугой диаграммы виртуального зацепления проекцию ветви узла от прохода классического перекрестка до следующего его прохода. В частности, в случае диаграммы классического узла/зацепления дугой называется проекция ветви узла от прохода перекрестка до следующего прохода.

Одним из наиболее ранних инвариантов в теории классических узлов является топологический инвариант — группа узла. Группой узла К С М3 (обозначение тт (К)) называется фундаментальная группа дополнения к узлу К, точнее говоря, к его малой трубчатой окрестности, а именно, мы полагаемк (К) = 7Г1(М3 М (К)).

По диаграмме узла можно явно выписать копредставление группы узла, которое называется копредставлением Виртингера. Копредставление Виртингера группы узла имеет следующий вид: дуги соответствуют образующим, а определяющие соотношения происходят из перекрестков, см. рис. 9. Имеем также копредставление Дена группы узла, которое сопоставляет областям плоскости проекции образующие, а перекресткам — соотношения, см. рис. 10. Главная трудность при использовании такого инварианта, как группа узла (зацепления), состоит в том, что группы, заданные различными копредставлениями, трудно сравнивать. В общем случае распознавание группы по копред-ставлению является неразрешимой проблемой. При этом группа узла является основой для построения более удобных (хотя и менее мощных) инвариантов узлов и зацеплений и доказательства структурных теорем. с=ЬаЬ" 1.

Рис. 9: Соотношение в перекрестке (копредставление Виртингера) г> С.

А В.

АВСГ)=1.

Рис. 10: Соотношение в перекрестке (копредставление Дена).

В настоящей диссертации при построении инвариантов виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях мы будем пользоваться как подходом Дена, так и подходом Виртингера, то есть в перекрестке будем иметь соотношение, а образующими будут являться области (подход Дена, см. рис. 11) или дуги диаграммы (подход Виртингера, см. рис. 12). Мы будем строить инвариантные полиномы для узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях, а также инвариантные модули для виртуальных узлов. Инвариантные модули, приводимые в настоящей диссертации, строятся с использованием методов, обобщающих стандарнтные методы построения модуля Александера с привнесением новых идей, связанных с топологией виртуальных узлов и четностью, см. [Мап16]. г -1.

Рис. 11: Картина Дена.

— 1.

Рис. 12: Картина Виртингера.

Пусть инвариант виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях получается с помощью некоторых соотношений в перекрестках. Тогда его можно усилить следующим образом. Мы будем использовать понятие четности перекрестков, то есть каждому перекрестку мы будем ставить в соответствие 0 (четный перекресток) или 1 (нечетный перекресток) по некоторому правилу. Четным и нечетным перекресткам мы будем ставить в соответствие различные соотношения, что и позволит нам строить более сильные инварианты виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях.

Определение 7. Пусть К и — диаграммы узлов, получаемые друг из друга одним из движений Рейдемейстера, причем число перекрестков диаграммы К2 не больше, чем число перекрестков диаграммы К. Говорят, что правило, по которому мы ставим в соответствие каждому перекрестку диаграммы 0 или 1, удовлетворяет аксиоматике четности, если выполняются следующие условия.

1. Если К2 получается из К первым движением Рейдемейстера, то перекресток диаграммы К, участвующий в первом движении является четным;

2. Если К2 получается из К вторым движением Рейдемейстера, то оба перекрестка, участвующие во втором движении, имеют одинаковую четность;

3. Если К2 получается из К третьим движением Рейдемейсте-ра, то мы имеем естественное соответствие между тройкой перекрестков диаграммы К и тройкой перекрестков диаграммы К2, участвующих в движении Рейдемейстера ((а, аг), (Ь, 62), {с, С2)), см. рис. 13. Требуется, чтобы a) четность соответствующих перекрестков совпадалаb) из перекрестков <21,61, с число нечетных перекрестков было четным, то есть 0 или 2.

4- При каждом движении Рейдемейстера мы имеем взаимно однозначное соответствие между перекрестками диаграммамы К и перекрестками диаграммы К2, которые не участвуют в движениях Рейдемейстера. Требуется, чтобы соответствующие перекрестки имели одинаковую четность [Mani 6].

Для виртуальных узлов существуют различные четности. В настоящей диссертации мы будем использовать гауссову четность, которая.

К2.

Рис. 13: Соответствие между перекрестками диаграмм К и К2 удовлетворяет аксиоматике четности.

Определение 8. Хордовой диаграммой называется набор неупорядоченных пар различных точек на окружности Б1, каждая из которых соединена хордой. Хордовые диаграммы изображаются в виде окружности и набора хорд.

Определение 9. Хордовой диаграммой, соответствующей диаграмме виртуального узла или диаграмме узла на поверхности, называется диаграмма, состоящая из ориентированной окружности, на которой прообразы прохода и перехода для каждого классического перекрестка соединены хордой.

На рис. 14 показан пример построения хордовой диаграммы, соответствующей диаграмме узла в торе Т2. а, а2 а, 1.

К С (К).

Рис. 14: Построение хордовой диаграммы для диаграммы узла в Т2.

Определение 10. Хорда, а хордовой диаграммы называется зацепленной с некоторой хордой Ъ, если концы хорды Ь лежат в разных компонентах 51 а. Любая хорда не зацеплена сама с собой.

Определение 11. Перекресток диаграммы виртуального узла или узла в утолщенной поверхности называется четным (нечетным), если в хордовой диаграмме узла с хордой, соответствующей этому перекрестку, зацеплено четное (нечетное) число хорд [Mani 6].

Построим отображение /, которое диаграмме К виртуального узла сопоставляет диаграмму, получающуюся следующим образом. Каждый четный классический перекресток диаграммы К остается классическим перекрестком, а всякий нечетный удаляется, т. е. на диаграмме мы на его месте ставим виртуальный перекресток.

Теорема 2. Отображение / корректно определено на классах виртуальных узлов, т. е. переводит эквивалентные виртуальные диаграммы в эквивалентные [Mani 6].

Пусть, А — инвариант виртуальных узлов. Тогда композиция A (f (K)) также определяет инвариант. В результате будем получать новые инварианты виртуальных узлов. Мы можем построить более тонкие инварианты следующим образом, не «забывая» полностью информацию в нечетных перекрестках, а также не «теряя» информацию в виртуальных перекрестках. Заметим, что на 2 типа перекрестки делили и ранее, в каждом из типов перекрестков ставили разные соотношения, см., например, [Al], [Мап16]. Мы усовершенствуем этот метод. Используя отображение / мы разделим перекрестки виртуальной диаграммы на 3 типа: тип 0, тип 1 и тип 2 (подробнее см. главу 3 стр. 75), то есть применим иерархию четностей для перекрестков диаграммы виртуального узла. В каждом из типов перекрестков будем ставить разные соотношения и получать новые инварианты виртуальных узлов.

0.2 Актуальность темы исследования.

Главный объект исследования настоящей диссертации — виртуальный узел (зацепление) представляет собой естественное комбинаторное обобщение обычного понятия узла: вводится новый тип перекрестка и пополняется список движений Рейдемейстера. Теория виртуальных узлов была изобретена Кауфманом в [Каи7]. Виртуальные узлы представляют собой узлы в утолщенных двумерных поверхностях, рассмотренных с точностью до изотопии и стабилизации/дестабилизации. На теорию виртуальных узлов были обобщены многочисленные инварианты классических узлов, см., например, [Мап15], в том числе гомологии Хованова, а также различные модификации полинома Алек-сандера, см. [Мап14].

Доказательство некоторых классических теорем использует виртуальные узлы, например, теорема Гусарова [GPV] о существовании комбинаторных формул типа Виро-Поляка [PV] для вычисления инвариантов Васильева классических узлов. В этих формулах появляются нереализуемые гауссовы диаграммы, то есть диаграммы виртуальных узлов.

Теорией виртуальных узлов занимались такие известные ученые, как В. А. Васильев, С. В. Матвеев, В. Г. Тураев, О. Я. Виро, М. Н. Гусаров, М. Г. Хованов, С. Картер, Д. Вар-Натан, Х. Мортон и другие. Ей посвящено множество работ, например, [GV1], [APS], [Bar], [BF], [Dye], [GPV], [НК1], [Kau7], [Kau5], [Kaul], [Kau2], [Kau3], [KMar], [Kad], [Kami], [KK], [KL], [KR1], [KR2] [Kup], [Nel], [SW], [Sawl], [Ver], [Vir3], [CKS], [A2], [AM], [Av], [BDK], [BF], [Ch], [DK], [DKM], [FJSK], [FKM], [Man5], [HK2], [Kam2], [Miyal], [Miya2], [Sat], [Saw2], [SW], [ZinZu] и ссылки в них.

С другой стороны, узлы в утолщенном торе стали привлекать внимание специалистов как «двояко-периодические узлы» или «текстильные структуры», см. работу В. А. Васильева, В. Р. Мешкова, С.А.Гриша-нова [GMV1], а также работы В. А. Васильева, С. А. Гришанова [GV2],.

Х.Р.Мортона, С. А. Гришанова [МО]. Топологическое исследование текстильных структур было начато в [ОМО].

Заметим также, что классическое зацепление, состоящее из п + 2 компонент, две компоненты которого образуют зацепление Хопфа (см. рис. 15), можно считать виртуальным зацеплением из п компонент в утолщенном торе. Дополнением к зацеплению Хопфа является Т2 х J, где J — ориентированный интервал. Таким образом, можно применять теорию виртуальных узлов и узлов в утолщенном торе для задач теории классических зацеплений.

Рис. 15: Зацепление Хопфа.

Фундаментальный вклад в теорию виртуальных узлов внес В.О.Ман-туров, который доказал алгоритмическую распознаваемость виртуальных узлов, построил теорию гомологий Хованова для виртуальных узлов, построил теорию инвариантов длинных виртуальных узлов, построил теорию проекцию с вируальных на классические узлы, построил теорию виртуальных группоидов, см., например, [Manl2], [Manll], [Manl7], [MI], [Мап7], [КМап], [Мап9], [Мапб], [Мап8], [Мап2].

Стандартное копредставление Виртингера группы узла сопоставляет дугам образующие, а перекресткам — соотношения. Аналогично копредставление Дена сопоставляет областям плоскости проекции образующие, а перекресткам — соотношения. Эти два копредставле-ния фундаментальной группы приводят к двум определениям полинома Александера. Определение, приведенное в [Каиб], позволило дать простое описание комбинаторной взаимосвязи полинома Александера и гомологий Ожвата-Сабо-Расмуссена, эйлеровой характеристикой которых и является полином Александера, см. [OszSz], [Ras].

Возникает вопрос: как можно строить новые модификации известных инвариантов для виртуальных узлов и усиливать их? Оказывается, используя картину Дена при построении инвариантного полинома для зацеплений в утолщенном торе, можно построить новый инвариант z', который является модификацией полинома Александера и распознает обратимость и зеркальность, что будет показано на примерах.

Для обобщения инварианта z' для узлов в утолщенных сферах с д ручками мы использовали картину Виртингера, а для усиления — гауссову четность, то есть множество перекрестков диаграммы мы разделим на четные и нечетные и в каждом из типов будем применять различные соотношения. Тем самым можно получать более сильные инварианты узлов в утолщенных поверхностях. В [Al] Д. М. Афанасьев построил инвариант для виртуальных узлов с использованием четности. Была добавлена дополнительная переменная в нечетном классическом перекрестке. Полиномиальный инвариант s, который будет построен в главе 2, является более сильным по сравнению с инвариантом Д. М. Афанасьева за счет увеличения числа переменных нового полинома s.

Используя новый полином s, мы докажем неэквивалентность узлов в кольце, рассмотренных В. А. Васильевым и которые не различались ранее в [GMV1] (стр. 68), а также неклассичность виртуального узла, рассмотренного Л. Х. Кауфманом (стр. 71). Неклассичность этого примера была параллельно и независимо доказана Л. Х. Кауфманом и С. Ябланом с использованием проекции В. О. Мантурова, см. [Мап13]. В дальнейшем будем использовать для усиления инвариантов иерархию четностей, то есть будем вводить не 2 типа перекрестков — четные и нечетные — как это было сделано ранее, а будем использовать 3 типа перекрестов 0, 1 и 2.

0.3 Цель работы.

Цель работы состоит в построении инвариантов виртуальных узлов и узлов в утолщенных поверхностях, распознающих обратимость, зеркальность, также доказывающих неэквивалентность диаграмм, которые не были распознаны существующими ранее инвариантами, неклассичность узлов, и исследование свойств получающихся инвариантов.

0.4 Основные задачи исследования:

• построить инвариант зацеплений в утолщенном торе, используя картину Дена группы узла, и исследовать его свойства: обратимость, зеркальность, а также исследовать взаимосвязь значений полинома на похожих узлах (тройках Конвея) (теорема 8 главы 1) — построить инвариант узлов в утолщенных сферах с д ручками, используя картину Виртингера и понятие четности, введенное В. О. Мантуровым;

• построить инвариантный модуль для виртуальных узлов, используя иерархию четностей, изобретенную В. О. Мантуровым, построить упрощение модуля, из которого будет получен инвариантный полином.

0.5 Научная новизна.

Основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Построен инвариантный полином г' зацеплений в утолщенном торе и исследованы свойства полученного полинома, а также рассмотрено применение инварианта г'.

2. Построен полиномиальный инвариант в для узлов в утолщенных сферах с д ручками.

3. Построен инвариантный модуль N для виртуальных узлов с использованием иерархии четностей. Построен модуль N/, который является упрощением модуля Л7', а также инвариантный полином п', для которого доказана мультипликативность связной суммы двух виртуальных диаграмм.

Рис. 16: Диаграммы узлов 1.12 и 1.13.

0.6 Методы исследования.

В настоящей работе применяются: методы трехмерной топологии, методы алгебраической топологии, методы комбинаторной топологии, теория четностей В. О. Мантурова и ее обобщение — иерархия четно-стей.

0.7 Примеры.

Результаты настоящей диссертации подкрепляются примерами. Приведем список примеров, полученных автором:

1. В ^еп1] (см. главу 1 на стр. 40) приведены примеры распознавания обратимости, зеркальности зацеплений инвариантным полиномом.

2. В |^еп2] (см. главу 2 на стр. 68) приведен пример диаграмм в кольце, рассмотренных В. А. Васильевым в [СМУ1], доказана их неэквивалентность с помощью полинома е.

3. В главе 2 на стр. 71 приведен пример распознавания неклассичности узла, который был исследован Л. Х. Кауфманом в [Каи4].

4. В главе 3 на стр. 90 приведен пример распознавания обратимости виртуальных диаграмм с использованием инвариантного полинома п'.

0.8 Апробация работы.

Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях:

• семинар «Узлы и теория представлений» (Москва, неоднократно с 2009 по 2013) под руководством В. О. Мантурова, Д. П. Ильютко и И. М. Никонова;

• семинар «Современные геометрические методы» (Москва, 24 марта 2010 и 6 марта 2013) под руководством А. Т. Фоменко, А.В.Бол-синова, А. С. Мищенко, А. А. Ошемкова, Е. А. Кудрявцевой, И. М. Никонова;

• 4-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева (Москва, 25 марта 2013).

0.9 Публикации.

Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах, из них.

3 статьи в рецензируемых журналах, 1 тезисы докладов:

1. Зенкина М. В., Мантуров В. О. Инвариант зацеплений в утолщенном торе // Записки научных семинаров ПОМИ. —2009. — Том 372. — С. 5−18.

В настоящей статье В. О. Мантурову принадлежит общая идея построения инвариантного полинома, М. В. Зенкиной принадлежит теорема о скейн-соотношении (см. глава 1 стр. 45).

2. Зенкина М. В. Инвариант зацеплений в утолщенном торе // Ма-тем. заметки. -2011. — 90:2. — С. 242−253.

3. Zenkina М. V. The parity hierarchy and new invariants of knots in thickened surfaces // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 2013. — Vol. 22, No. 4. — pp. 1 340 001−1-1 340 001−23.

4. Зенкина M. В. Иерархия четиостей и новые инварианты узлов в утолщенных поверхностях // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева. — М.: РУДН, 2013. — С. 343.

0.10 Структура диссертации.

Диссертация изложена на 103 страницах печатного текста, состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы.

Список литературы

содержит 90 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.