Гладкость сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами

1.1. История вопроса Работа посвящена изучению взаимосвязи новедения коэффициентов тригонометрических рядов многих неремеиных и гладкости сумм этих рядов внространствах Ц и Вначале введем некоторые обозначення. Тогда uj{6) называется модулем ненрерывностн. Пусть Г.,&bdquo- — множество всех т — мерных векторов из О и 1. Если 77/7,Г/,/, 7 = (7ь • • •, 7т), то положим |7| = Zl7(- Обозначим (=1Ai (/, X, h)= 5 ] (Определение 3, Пусть функция /(х)? Lp (T'"), 1 < р < оо, где Ь^ о = В тех случаях, когда вид вектора, а ясен из контекста, будем обозначатьих Lip (a, р) и Lip (a-) соответственно. Кроме того, можно ввестн понятие полного модуля непрерывности. Одномерные классы П^ рассмат]:)нвалнсь П. Л. Ульяновым в работе [11|, В тех случаях, когда смешанный модуль непрерывности не доиускаеттпредставления a-(^i,, .. , 5&bdquo-г) = YI ^i{^j)-> будем называть его смешанныммодулем ненрсрывностн обш, его вида. Сиравед, л11ва следующая теорема, доказаниая Харди и Литтльвудо.м.Теорема А. а) Пуетъ функция f {yi) имеет, ряд Фурье ^ an{f)e^^^- Тогда если 1 < с (р, m) Jp{a).Для m = 1 докагттельство этой теоремы можно найти в кииге [6], а длят > 1 его можно получнть нрихменением иидукции. Кроме того Хардп и Лнттльвуд заметили, что в одномерном случае, длясорядов ^ а"е''" '''', где ai >² ^ • • • > О, а,(—> О при п —> оо справедлнв п• «= 1более сильный результат, а пменно: с учетом выше перечисленных условийдля того, чтобы f{x) G Lp (T), 1 < р < оо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условиесоЫ''^ < 00. Для кратного случая возможны разлнчиые онределення монотонностн. Ряды с коэффициентами, монотонными, но Хардн являются достаточноузким классом рядов. Например, сферическое ядро Дирихле ненринадлежит этому классу. Утверждение теоремы Дьяченко было обобщено Драгошанским иаанизотронный случай. Теорема (Драготапский [4]). Пусть размерность т — 2, а вектор р =[Vi: Vi) • ide Pi, p2 > 1, таков, что дляр = max{pi, р2, 2} справедливонеравенст, во— 4: с < 0. Pi Р2 РТогда для любого полиномаQ (x) =(Щ, П2)-(1, 1) С коэф) ф)ициентами а^, монотонно убывающими по каэ/сдому направлению, справедлива оценка| |Q (x)||p 2, I < р < оо, /(х) Е Lp (T&trade-)00и ^ а"е'» ^ — её ряд Фурье, и коэффициенты монотонно убывают по11=1каэюдому направлению. Тогда0 0Позднее Нурсултанов [9] обобщил этот результат на более пифокийкласс рядов..

1. Н. К. Бари, Б. С. Стечкин Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций, Тр. Моск. матем. о-ва, Д’а5 (1956), стр. 486 — 522..

2. II. К. Бари Тригонометрические ряды, Москва, «Физматгиз» (1961)..

3. Т. М. Вуколова, М. И. Дьяченко Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно монотонными коэффициентами, Изв. ВУЗ (серия Математика), № 7 (1994), стр. 20 28..

4. О. С. Драгошанский Анизотропные нормы ядер Дирихле и некоторые другие нормы тригонометрических полиномов, Мат. Заметки, том G7, выпуск 5 (2000), стр. 686 701..

5. М. И. Дьяченко Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах L/-, Мат. Сборник, том 184, № 3 (1993), стр. 3 20..

6. А. Зигмунд Тригонометрические ряды, Москва, «Мир» (1965), том 2..

7. А. А. Конюшков О классах Липшица, Изв. Ак. Наук СССР, № 21 (1957), стр. 423 448..

8. С. М. Никольский Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва, «Наука» (1977)..

9. Е. Д. Нурсултанов О коэффициентах кратных рядов Фурье из Lv пространств, Изв. РАН (серия Математика), том 64, № 1 (2000), стр. 95 122.10J А. Ф. Тиман Теория приближений функций действительного переменного, Москва, «Физматгиз» (1960)..

10. Г1. Л. Ульянов Вложение некоторых классов функций Щ, Изв. Ак. Наук СССР, № 32 (1968), стр. 649 686..

11. П. Л. Ульянов О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов, Успехи матем. наук, .№ 8 (1953), выпуск 6, стр. 133 141..

12. М. I. D’jachenko Multiple trigonometric scries with lexicographically monotone coefficients, Anal Math., том 16, выпуск 3 (1990). стр. 173 190..

13. G. G. Lorcntz Fourier-Koeffizienten unci Funktionenklassen, Math. Z., том 51, № 2 (1948), стр. 135 149..

14. F. Moricz On double cosine, sine and Walsh series with monotone coeffitiens, Proc. Amer. Math. Sci., том 109, № 2 (1990), стр. 417 435..

15. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Изв. вуз. Матем. 2007. А" 24. стр. 21 29..

16. А. П. Антонов Гладкость сумм двойных тригонометрическихрядов с монотонными коэффициентами, Вести. Моск. ун та. Матем. Механ. 2004. .V5. стр. 26 — 33..

17. Л. П. Антонов О классах И ИШи Wm для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы международной конференции «Теория функций и вычислительные методы», Астана, 2007. стр. 35 37..

18. А. П. Антонов О классах Lip (a, р) для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 2007. стр. 12 -13..

19. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Тезисы докладов 13 й Саратовской зимней школы, Саратов, 2006. стр. 15 — 16..

20. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского, Том 23, Казань, 2004. стр. 79 80..