Поиск экстремума функции отклика

Определение стратегии поиска

Если линейная модель наблюдений описывает некоторые процессы, то ставится задача нахождения набора входных параметров, при которых выходной параметр будет экстремальным либо будет находиться в определенной области значений. Например, линейная модель описывает технологический процесс и необходимо определить набор условий (входных факторов), при которых производительность процесса будет максимальной, либо набор условий, при которых выход бракованных изделий сведен к минимуму. Формально задача сводится к отысканию вектора Х=(х1,х2,…, хk) G при условии.

Для нахождения экстремума функции отклика необходимо исследовать поверхность отклика посредством проведения изменений поверхности в различных точках факторного пространства.

Стратегия поиска состоит в том, чтобы число измерений (опытов) было сведено к минимальному значению, т. к. каждый опыт — это эксперимент на функционирующем объекте.

Наибольшее распространение получили градиентные методы поиска экстремума, при которых движение по поверхности отклика происходит в направлении оценки градиента. Оценка градиента gradf (х1,х2,…, хk) в точке (х1,х2,…, хk) происходит по результатам измерений, проводимым в окрестностях этой точки в факторном пространстве.

Бокс и Уильсон [15, с. 410] предложили использовать последовательный «шаговый» метод изучения поверхности отклика. При этом ставится небольшая серия опытов для локального описания поверхности отклика полиномом первой степени. Далее движение осуществляется по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения достаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и находится новое направление движения по поверхности отклика. Такой процесс движения продолжается, пока исследователь не попадет в почти стационарную область, где линейное приближение оказывается недостаточным. В этой области ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго и третьего порядка.

Метод Бокса и Уильсона состоит в повторении процедуры:

• — построение факторного эксперимента в окрестности некоторой точки;
• — вычисление оценки градиента в этой точке по результатам эксперимента;
• — крутое восхождение в направлении оценки градиента;
• — нахождение оценки экстремального значения функции отклика по этому направлению.