Прямые методы решения
Эта матрица не имеет трехдиагональной структуры и, следовательно, не может быть решена обычным методом прогонки. В то же время она является неплотной, в ней много нулевых элементов. Обычно гауссово исключение неэффективно для систем такого вида. Матрица, А имеет блочно-трехдиагональную структуру. Вдоль главной диагонали стоят блоки-матрицы Т, являющиеся трехдиагональными, а две побочные диагонали… Читать ещё >
Прямые методы решения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Если разностную аппроксимацию дифференциального уравнения записать для каждой внутренней точки области, то получится система линейных уравнений с числом неизвестных, равным числу внутренних узлов сетки. Рассмотрим особенности этой системы на примере первой краевой задачи для области, имеющей форму квадрата. Для простоты примем и = 0. Покроем область сеткой с девятью внутренними точками (рис. 8.1).
Пронумеруем внутренние точки сквозным образом, а граничные точки обозначим строчными буквами а-п. Разностное уравнение для первого узла будет иметь вид.
или.
Для второго узла и т. д.
Рис. 8.1. Сотка для уравнения Пуассона.
Если обозначить вектор неизвестных через Ф. Ф7 = (ф, Ф2, …, ^9), а вектор правых частей системы через D, D7 = (—фа—фп, —фь, • • •" — Фд — ф/), то система уравнений запишется в матричной форме: 
Здесь, А — матрица коэффициентов следующего вида:
Эта матрица не имеет трехдиагональной структуры и, следовательно, не может быть решена обычным методом прогонки. В то же время она является неплотной, в ней много нулевых элементов. Обычно гауссово исключение неэффективно для систем такого вида. Матрица, А имеет блочно-трехдиагональную структуру. Вдоль главной диагонали стоят блоки-матрицы Т, являющиеся трехдиагональными, а две побочные диагонали заняты единичными матрицами Е:
Число блоков Е соответствует числу строк в области, а размер блока числу узлов сетки на столбце. Для решения систем с блочнотрехдиагональной структурой разработан метод матричной прогонки, называемый также методом матричной факторизации.
Систему (8.3) можно записать в матричной форме:
где Ф;, Dj — векторы неизвестных и правых частей, соответствующие г -му блоку.
По аналогии с методом скалярной прогонки положим.
где X, — матрица, X*, Y, — векторы. Подставив (8.4) в (8.5), получим 
Умножая это выражение слева на матрицу (Т + EX,_i)_1, находим.
Сравнивая полученное выражение с матричным прогоиочным соотношением (8.5), получим рекуррентные зависимости:
Начальные данные для (8.6) получаются из краевых условий на левой границе области, после чего может быть реализован процесс восстановления прогоиочных матриц Xj, Y,. Условия на правой границе области позволяют реализовать процесс обратной матричной прогонки с помощью (8.5). Схема матричной факторизации аналогична обычной скалярной прогонке, однако здесь «прогоняются» векторы YФ* и квадратные матрицы X*, а все операции понимаются как операции над матрицами и векторами.
Метод матричной факторизации может быть обобщен и на трехмерный случай, однако его преимущества снижаются необходимостью обращать матрицы, хранить в памяти ЭВМ про гоночные матрицы Xj, и Yi. По своей сути этот метод является методом гауссового исключения, учитывающим блочно-трехдиагоиальную структуру матрицы системы сеточных уравнений.