Основные теоремы и формулы

Для определения положения главных центральных осей и вычисления геометрических характеристик необходимо будет использовать некоторые теоремы и формулы, которые приведены без доказательств и выводов.

Определение положения центра тяжести сечения.

(1).

С помощью формул (1) можно определять величину статических моментов:

S_x= y_СA; S_Y= x_СA.(2).

Из (2) следует, что статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

Пусть сечение имеет ось симметрии и одна из координатных осей, например, ось Y, совпадает с ней (рис.5).

Рисунок 5

Можно показать, что тогда Jxy=0. Таким образом, если сечение имеет ось симметрии, то эта ось и ось, ей перпендикулярная, образуют главную систему координат.

Если сечение имеет больше двух осей симметрии, то все центральные оси такого сечения — главные и все главные центральные моменты инерции равны между собой. К таким сечениям относятся круг, квадрат, другие правильные многоугольники (рис.6).

Рисунок 6

Теорема о параллельном переносе осей.

Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей CX_cY_c, то есть Jy_с, Jx_с, Jx_сy_c -заданы (рис.7).

Рисунок 7

Рассмотрим еще одну систему координат OXY.

Тогда моменты инерции относительно осей, параллельных центральным, определятся по формулам:

(3).

Здесь a, b — координаты точки О в системе CX_cY_c. Из выражений (3) следует, что относительно любой нецентральной оси осевой момент инерции больше, чем относительно центральной.

Теорема о повороте осей.

Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей CX₁Y₁, то есть Jy₁, Jx₁, Jx₁y₁ -заданы (рис.8).

Рисунок 8

Тогда моменты инерции относительно осей, повернутых на угол б, определятся по формулам:

(4).

Пусть оси OXY — главные. Тогда J_XY=0 и из последней из формул (4) следует Тогда.

(5).

Эта формула используется для определения положения главных осей OXY относительно произвольных осей OX₁Y₁. Положительный угол б откладывается против хода часовой стрелки. Если при этом Jx₁y₁ < 0, то ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через первую и третью четверти системы координат, а если Jx₁y₁ > 0 — через вторую и четвертую.

Величины главных центральных моментов инерции сечения определяются по формуле:

(6).

Теорема о сложении моментов инерции.

При вычислении моментов инерции сложной фигуры относительно какой-либо оси нужно последнюю разбить на ряд простейших фигур и длч каждой вычислить момент инерции относительно этой оси (рис.9).

Рисунок 9

Тогда момент инерции всей фигуры определяется как сумма моментов инерции составных частей:

(7).

Суммировать моменты инерции частей фигуры относительно разных осей нельзя.

Эта теорема справедлива только для статических, осевых и центробежного моментов, но ее ни в коем случае нельзя применять для моментов сопротивления и радиусов инерции сечения.