Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений. В результате решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями получим кривую, которая касается поля направлений в любой точке.
Если взять последовательность точек х0, х1, х2, … и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию.
Подставляя заданные начальные условия в дифференциальное уравнение, получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке:
(2).
Заменив на отрезке интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение:
(3).
Для отрезка производим аналогичную операцию и получаем:
(4).
Продолжая аналогичные действия далее, получаем итоговую ломаную кривую — ломаную Эйлера.
Сформулируем общую формулу вычислений:
(5).
Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:
(6).
Следует отметить, что точность метода Эйлера достаточно невысока. Повысить точность можно, например, уменьшив шаг вычислений, однако, это повлечет усложнение расчетов. Таким образом, на практике применяется, так называемый, уточненный метод Эйлера, или формула пересчета.
Суть метода: в формуле вместо значения используется среднее арифметическое значений и. Тогда уточненное значение:
(7).
Далее находится значение производной в точке. Заменяя средним арифметическим значений и, находят второе уточненное значение :
(8).
Затем третье:
(9).
И т.д., пока не совпадут два последовательных уточненных значения в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера.
Подобная операция производится и для остальных значений у. Данное уточнение позволяет весомо повысить точность результата.
