Импульсные и цифровые системы управления

Контрольная работа Импульсные и цифровые системы управления

1. Непрерывные и дискретные переменные

2. Примеры импульсных и цифровых систем

3. Уравнения импульсной системы

4. Определение уравнений дискретных систем по передаточной функции приведенной непрерывной части

5. Решение уравнений дискретных систем

6. Устойчивость дискретных систем

7. Условия конечной длительности переходных процессов дискретных систем

8. Астатизм дискретных систем Литература

1. Непрерывные и дискретные переменные Наряду с непрерывными переменными, которые определены во все моменты времени, существуют импульсные и дискретные переменные, представляющие собой последовательность импульсов. Эта последовательность связана с источником информации или с некоторой непрерывной переменной лишь в отдельные моменты времени. Во все остальные моменты времени указанная связь отсутствует.

В связи с этим импульсные переменные часто называют модулированными сигналами, имея в виду, что существует некоторый генератор несущего сигнала ГНС (рис. 1, а), т. е. импульсов с постоянными амплитудой, длительностью и частотой следования (рис. 1, б). Этот несущий сигнал поступает в модулятор (Мод), который изменяет один или несколько параметров несущего сигнала (амплитуду, длительность или интервал следования) в соответствии с изменением исходной информационной переменной. На выходе модулятора и формируется импульсная переменная .

а б

Рис. 1

Обычно импульсные переменные представляют собой импульсы, следующие через определенные промежутки времени. Как правило, они являются результатом модуляции непрерывных переменных.

В системах управления используется модуляция следующих ви;

дов: амплитудно-импульсная (), широтно-импульсная () и времяимпульсная () модуляция.

Рассмотрим эти виды модуляции подробнее.

Амплитудно-импульсная модуляция. В этом случае амплитуда импульсов переменной определяется выражением

где — амплитуда импульса, — коэффициент передачи модулятора, — информационная (модулирующая) переменная. Остальные параметры импульсов: длительность и интервал следования k-го импульса по отношению к k-1-му импульсу, т. е. величина, .

Двойные скобки, здесь и далее, обозначают операцию взятия целой части.

Широтно-импульсная модуляция. Здесь переменной является длительность импульса, т. е.

где — коэффициент передачи модулятора. При этом, .

Времяимпульсная модуляция. В этом случае переменной является задержка импульсов по отношению к моментам времени, т. е.

где — коэффициент передачи модулятора. При этом, .

Преобразование непрерывной переменной в импульсную с помощью указанных видов модуляции показано на рис. 2. Отметим также, что является линейным, а и нелинейными преобразованиями.

Дискретные переменные представляют собой последовательность «дискрет» (мгновенных значений некоторой функции) и также являются результатом квантования по времени непрерывных переменных, т. е.

. (1)

Здесь — решетчатая функция (последовательностьимпульсов различной площади).

Выражение (1) описывает процесс квантования по времени непрерывной переменной. Квантование по времени также является линейным преобразованием. Его можно рассматривать как амплитудно-импульсную модуляцию.

Рис. 2

В выражении (1) верхний предел суммы можно заменить на бесконечность, так как функция при всех равна нулю по определениюфункции. Поэтому

. (2)

Определение. Непрерывным элементом системы называется элемент, у которого входная и выходная переменные, а также переменные состояния являются непрерывными функциями времени.

Определение. Импульсным элементом называется элемент, у которого входная или выходная переменные являются импульсными.

Определение. Дискретным элементом называется элемент, у которого какая-либо из переменных является дискретной или решетчатой функцией, т. е. представляет собой последовательностьимпульсов с изменяющейся площадью. Этиимпульсы часто называют «дискретами» .

Определение. Если динамическая система содержит хотя бы один импульсный или дискретный элемент, то она называется импульсной или дискретной. Дискретные системы, в которых имеются дискретные или импульсные переменные, представленные цифровыми кодами, называются цифровыми системами.

Наличие импульсных элементов в системах управления обусловлено либо принципом действия этих систем, либо импульсные элементы вводятся в непрерывную систему с целью получения определенных преимуществ. Например, для того чтобы один и тот же регулятор мог в разные моменты времени поочерёдно управлять различными объектами.

2. Примеры импульсных и цифровых систем Радиолокационный дальномер. Дальномер используется для измерения расстояния до различных движущихся объектов. Функциональная схема радиолокационного дальномера изображена на рис. 3. Здесь обозначено — антенна; - приемопередатчик; - инвертор; - схемы И, — генератор стробирующих импульсов, — времяимпульсный модулятор.

Приемопередатчик периодически формирует и через антенну излучает в пространство зондирующие радиоимпульсы (ЗИ). Он же принимает отраженные радиоимпульсы и формирует их огибающую (ОИ). Генератор стробирующих импульсов () формирует стробирующий импульс (СИ), который запаздывает по отношению к зондирующему на время, пропорциональное напряжению на выходе интегратора.

Поэтому, если на схему сравнения, образованную инвертором 1, двумя схемами и инвертирующим сумматором, стробирующий импульс приходит раньше отраженного ОИ, то под действием импульса со схемы напряжение на интеграторе уменьшается на величину, которая будет меньше, чем та, на которую увеличится под действием импульса, поступающего со схемы .

Если же стробирующий импульс приходит позже отраженного сигнала, то напряжение на интеграторе уменьшается под действием сигнала с на большую величину, чем оно увеличится под действием сигнала с .

Рис. 3

И только в том случае, когда запаздывание стробирующего импульса равно запаздыванию отраженного, напряжение на интеграторе остается неизменным после прихода импульсов с и с. Поэтому в этом установившемся режиме напряжение на интеграторе будет прямо пропорционально дальности до цели.

Совокупность блоков, ,, образует импульсный элемент (ИЭ). Можно считать, что этот ИЭ формирует прямоугольные импульсы, амплитуда которых пропорциональна отклонению, т. е. разности между действительной дальностью d до цели и измеренной дальностью, которая равна .

Рис. 4

Поэтому структурную схему радиолокационного дальномера можно представить, как показано на рис. 4, где обозначено — отклонение, — коэффициент пропорциональности; - непрерывная часть рассмотренного радиолокационного дальномера, состоящая из инвертирующего сумматора, интегратора и не показанных на схеме дополнительных устройств.

Как видно, дальномер представляет собою замкнутую импульсную систему, выходная переменная которой в установившемся режиме пропорциональна дальности d до цели.

Система регулирования температуры с импульсным измерителем отклонения. Данная система предназначена для регулирования температуры в камере, снабженной нагревателем (Н) и резистивным датчиком температуры (). В этой системе (рис. 5) импульсным элементом является измеритель отклонения (рассогласования) (). На него с электрического моста поступает непрерывная переменная, пропорциональная отклонению температуры в камере от заданного значения, а его выходная переменная является последовательностью импульсов постоянной длительности и переменной амплитуды.

Частота следования импульсов определяется частотой вращения кулачка 2, а длительность импульсов — временем прижатия стрелки 4 к потенциометру с помощью «падающей дужки» 3. Амплитуда импульсов зависит от угла отклонения рамки магнитоэлектрического прибора. Этот угол пропорционален напряжению. Остальные элементы являются обычными непрерывными элементами. Они образуют непрерывную часть () рассматриваемой системы, структурная схема которой приведена на рис. 6.

Рис. 5

Отметим, что в данную систему импульсный элемент введен искусственно с целью расширения возможностей регулирующей части. Данная система может работать и без импульсного элемента, если напряжение с моста подать непосредственно на вход усилителя У. Однако в этом случае двигатель М будет все время находиться под напряжением, что приведет к большим потерям энергии. Кроме того, потребуются дополнительные корректирующие устройства, позволяющие снизить быстродействие электрической части системы, соотнеся его с большой инерционностью нагревательной камеры.

Рис. 6

Система с ЦВМ. В настоящее время всё более широко применяются системы с цифровыми управляющими машинами (). Схема такой системы приведена на рис. 7. Необходимыми устройствами системы с являются аналого-цифровые () и цифро-аналоговые () преобразователи. осуществляет преобразование непрерывных переменных в последовательность цифровых кодов, поступающих затем в УВМ. С другой стороны, последовательность кодов управляющего воздействия, вычисленных УВМ, преобразуется ЦАП в непрерывное управляющее воздействие, которое поступает через исполнительные устройства на объект управления.

кроме квантования по времени, осуществляет и квантование по уровню. Величина кванта по уровню определяется числом разрядов. В настоящее время имеют 8 — 10 разрядов и выше, поэтому на первой стадии анализа цифровых систем квантованием по уровню обычно пренебрегают.

Кроме того, и АЦП, и ЦАП, и УВМ требуют некоторого времени для обработки поступающих переменных, поэтому цифровые элементы всегда вносят некоторое запаздывание по времени. Если запаздывание мало по сравнению с периодом следования импульсов (менее 0,1Т), то им обычно пренебрегают. Если же запаздывание соизмеримо с периодом Т, то его необходимо учитывать при исследовании цифровых систем.

Рис. 7

Как видно из приведенных выше примеров, в большинстве случаев структурную схему импульсной системы в разомкнутом состоянии можно представить, как показано на рис. 8.

3. Уравнения импульсной системы С помощью структурной схемы, приведенной на рис. 8, можно получить различные уравнения импульсной системы, используя уравнения импульсного элемента и непрерывной части, представленные в той или иной форме.

Предположим, формирует прямоугольные импульсы длительностью с различной амплитудой. График его выходного сигнала для этого случая приведен на рис. 9.

Рис. 8

Аналитически зависимость, представленную на рис. 9, можно описать следующими выражениями:

(3)

где — коэффициент передачи .

Рис. 9

Предположим, что непрерывная часть () (см. рис. 8) задана своими уравнениями в переменных состояния

(4)

. (5)

Обратим внимание, что в импульсных системах всегда отсутствует прямая связь между входной переменной непрерывной части и её выходной переменной. Поэтому в уравнении (5) отсутствует переменная .

Кроме того, в импульсных системах (см. рис. 8) связь между входной переменной и выходной непрерывной переменной является нелинейной. Поэтому чаще всего здесь рассматривается связь между дискретными значениями управления, дискретными значениями выходной переменной и соответствующими значениями переменных состояния НЧ.

Для вывода уравнений импульсной системы (см. рис. 8) воспользуемся формулой Коши. На основе уравнения (4) можно записать равенство

. (6)

Положим в (6), , и проведём замену переменных. В результате будем иметь

.

В соответствии с уравнениями (3) импульсного элемента величина на интервале от до равна нулю, а в интервале от до равна. Поэтому Отсюда следует равенство

. (7)

Здесь обозначено. Выражения (7) и (5) можно записать следующим образом:

(8)

(9)

Где

. (10)

Если матрица является неособенной, т. е., то интеграл в (10) можно взять в символьной форме. В результате получим

. (11)

Если же матрица является особенной, т. е., то интеграл в (10) необходимо вычислять путем интегрирования каждого элемента подынтегральной матрицы в отдельности.

Выражения (8), (9) являются разностными уравнениями импульсной системы в разомкнутом состоянии. Эти уравнения связывают лишь дискретные значения переменных состояния с дискретными же значениями входной переменной и выходной переменной рассматриваемой системы (см. рис. 8). Можно ввести в эти уравнения и первые разности, т. е. величины — убывающую разность, или же — восходящую разность.

Для вывода уравнений замкнутой системы, структурная схема которой показана на рис. 10, необходимо в уравнении (8) заменить на и учесть, что .

В результате, принимая во внимание уравнение (9), получим

Или

(12)

где

. (13)

Выражения (12) являются разностными уравнениями в переменных состояния замкнутой импульсной или дискретной системы.

Рис. 10

Таким образом, и импульсные, и дискретные системы описываются разностными уравнениями типа (12), (13), решениями которых являются решетчатые функции. Последние и представляют дискретные значения переменных системы.

Поэтому, когда говорят о дискретных системах, то имеют в виду и импульсные и дискретные системы.

Пример 1. Найти уравнения импульсной системы, структурная схема которой приведена на рис. 10. Импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы с параметрами,. Его коэффициент передачи. Непрерывная часть описывается уравнениями:

.

Решение. В данном случае матрица A является диагональной, поэтому в соответствии с выражениями (8) — (11) имеем

,

,

.

Итак, уравнения системы в разомкнутом состоянии имеют вид

.

Перейдем к выводу уравнений системы в замкнутом состоянии. По формулам (12) и (13) находим:

Следовательно, в замкнутом состоянии рассматриваемая система описывается уравнениями:

Заметим, что вектор с в полученном уравнении выхода совпадает с аналогичным вектором непрерывной части системы.

Уравнения вход-выход дискретных систем. Преобразование Лапласа над решетчатыми функциями, которые в соответствии с полученными выше уравнениями описывают поведение дискретных систем, называется дискретным преобразованием Лапласа или z-преобразованием [5, 12]. Результат z-преобразования решетчатой функции, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, называется изображением, а сама решетчатая функция — оригиналом.

Для наиболее распространенных функций z-преобразования приведены ниже в приложении, а также в книгах [5, 15] и многих других. Для существования z-преобразования решетчатая функция должна быть равна нулю при отрицательном значении аргумента, а при расти не быстрее экспоненты.

Укажем некоторые свойства z-преобразования. Пусть результат z-преобразования некоторой функции, т. е.

.

Тогда справедливы соотношения

. (14)

Здесь — обозначение нулевых начальных условий.

Соотношения (14) применяются для определения реакции замкнутых систем на заданные воздействия, если известны z-изображения последних. Z-преобразование позволяет ввести, как и в непрерывном случае, передаточные функции импульсных систем.

Если воспользоваться соотношениями (14) и преобразовать уравнения (12) при нулевых начальных условиях, то будем иметь

, .

Отсюда

. (15)

Применяя правила обратного z-преобразования к правым частям равенств (15), можно найти оригиналы и при заданном. Это позволяет получить аналитические выражения, которые определяют значения и для любого значения .

Замечание. При взятии обратного z-преобразования от изображения в виде рациональной дроби на сумму простейших дробей разлагается не само z-изображение искомой функции, а сначала из числителя z-изображения выносится переменная. Оставшаяся рациональная дробь разлагается обычным путем на сумму простейших дробей. Эта особенность связана с тем, что z-изображения всегда имеют множитель в числителе.

Из второго соотношения (15) вытекает формула для определения передаточной функции замкнутой дискретной системы (12):

Или

. (16)

Таким образом, передаточные функции импульсных систем, как и передаточные функции непрерывных систем, являются отношением полиномов, но от переменной . При этом степень числителя также не может превышать степень знаменателя.

Если z-преобразованию подвергнуть уравнения системы в разомкнутом состоянии (12), то можно получить передаточную функцию импульсной системы в разомкнутом состоянии, тоже как отношение полиномов от z. При этом передаточная функция импульсной системы в замкнутом состоянии при отрицательной единичной обратной связи определяется по обычной формуле, т. е. если

то. (17)

Отметим в заключение этого параграфа, что приведенные соотношения (10), (11), (13), (16) и (17) позволяют найти модели импульсной системы по уравнению импульсного элемента (2) и уравнениям в переменных состояния непрерывной части.

4. Определение уравнений дискретных систем по передаточной функции приведенной непрерывной части Очень часто дискретная или импульсная система (см. рис. 10) с АИМ задаётся параметрами импульсов и передаточной функцией непрерывной части. В этом случае модель дискретной системы в форме разностных уравнений (12) или в форме дискретной передаточной функции (17) можно найти двумя способами.

Первый способ заключается в том, что сначала от заданной переходят любым из известных способов к уравнениям непрерывной части в переменных состояния (4), (5), а затем применяют приведенные выше соотношения (10) и (17).

Другой способ заключается в определении непосредственно по. В этом случае имеющийся в системе (рис. 10) импульсный элемент (ИЭ) заменяется последовательно соединенными ключом К, работающим с периодом, и формирующим элементом (ФЭ) (рис. 11). При этом импульсная переходная характеристика формирующего элемента совпадает с функцией, описывающей форму исходного (единичного) импульса. Поэтому передаточная функция формирующего элемента определяется выражением

(18)

где — функция, описывающая единичный импульс реального импульсного элемента; - непрерывное преобразование Лапласа.

Например, если указанный импульс является прямоугольным и имеет длительность, то функция. Поэтому по формуле (18) для случая прямоугольных импульсов имеем

(19)

Отметим, что если выходными сигналами импульсного элемента являютсяимпульсы, то в соответствии с (18).

Рис. 11

Указанное представление реального импульсного элемента позволяет представить структурную схему импульсной системы (см. рис. 10) в разомкнутом состоянии, как показано на рис. 11. На этом рисунке обозначено

(20)

причем совокупность непрерывной части и формирующего элемента называется приведенной непрерывной частью.

Дискретная передаточная функция этой системы определяется выражением

. (21)

Для взятия z-преобразования здесь удобнее всего разложить на простейшие дроби, а затем заменить эти дроби их z-изображениями (например, взятыми из таблиц).

Рассмотрим этот способ определения на конкретном примере.

Пример 2. Пусть, а импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы длительностью, где число. Найти передаточную функцию импульсной системы в разомкнутом и замкнутом состоянии, если обратная связь единичная и отрицательная.

Решение. Так как импульсы прямоугольные, то согласно (19) и (20), имеем Представим эту функцию следующим образом:

Z-преобразования обычных и запаздывающих дробей определим с помощью таблицы, приведенной в приложении. В данном случае имеют место соответствия:

где .

Умножая найденные z-изображения на соответствующие коэффициенты из разложения и суммируя, получим искомую передаточную функцию

(22)

Здесь, , .

Так как в рассматриваемой системе обратная связь единичная и отрицательная, т. е., то по формуле (17) с учетом (22) найдем

(23)

Теперь для получения уравнений дискретной системы в переменных состояния достаточно перейти от найденной передаточной функции к этим уравнениям.

Рассмотрим один из возможных алгоритмов перехода от передаточной функции дискретной системы к её уравнениям в переменных состояния. При этом, как и в непрерывном случае, если система имеет один вход и один выход, то возможно применение соотношений, соответствующих как канонической наблюдаемой форме, так и канонической управляемой форме. Если же дискретная система имеет несколько входов и (или) выходов, то при выборе соответствующих соотношений целесообразно руководствоваться рекомендациями, изложенными в [5. С. 86 — 92].

Предположим, найдена некоторая передаточная функция дискретной системы (с одним входом и одним выходом):

. (24)

Алгоритм перехода к соответствующим уравнениям в переменных состояния включает следующие шаги [5]:

1. Делим числитель и знаменатель в (24) на коэффициент. Получим

2. Если степень числителя в (24) меньше степени знаменателя, то переходим к п. 3 алгоритма. В противном случае выделяем целую часть. В результате будем иметь

(25)

где, .

3. Записываем уравнение в переменных состояния либо в виде

(26)

(27)

либо в виде

(28)

(29)

Подчеркнем, что с точки зрения полноты описания дискретной системы, которая задана лишь своей передаточной функцией (24), обе формы уравнений (26), (27) и (28), (29) — равноценны. Причем уравнения (26), (27) являются канонической управляемой, а уравнения (28), (29) — канонической наблюдаемой формой модели дискретной системы с одним входом и одним выходом.

Пример 3. Найти уравнения в переменных состояния замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере 2.

Решение. Передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет вид (23), где, и, в общем случае,. Поэтому, прежде всего, в соответствии с алгоритмом перехода, разделим числитель и знаменатель (23) на. В результате получим где. Эта передаточная функция, очевидно, имеет вид (25) при и. Поэтому, переходя сразу к шагу 3 алгоритма и применяя выражения (26), (27), найдем

(30)

Это и есть уравнения в переменных состояния замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере 2.

Отметим в заключение этого раздела, что квантование по времени в импульсных или дискретных системах не всегда необходимо учитывать. Оказывается, если частота квантования по времени достаточно высока, то квантованием по времени можно пренебречь.

Действительно, так как согласно (21), — это z-преобразование, то заменяя на, можно установить [см. 25], что на интервале частот от до выполняется приближенное равенство

(31)

Если

(32)

Здесь T — период следования импульсов, — граничная частота АЧХ приведенной непрерывной части импульсной системы.

Граничная частота — это такая частота, что при всех АЧХ .

На рис. 12 показан процесс образования из АЧХ приведенной непрерывной части. Здесь кривая 1 на интервале частот от до является АЧХ приведенной непрерывной части. Кривая, помеченная цифрами 2, является амплитудно-частотной характеристикой импульсной системы при, а кривая, помеченная цифрами 3, та же характеристика, но при (при условии, что). Как видно, является периодической по частоте функцией.

При этом, если условие (32) выполняется и, то частотная характеристика импульсной системы представляет собой повторяющуюся с периодом АЧХ приведенной непрерывной части. Причем на интервале частот от до эта характеристика совпадает с частотной характеристикой приведенной непрерывной части. Другими словами, если условие (32) выполняется, то квантование сигнала сказывается (при) лишь на амплитуде выходного сигнала системы в разомкнутом состоянии, т. е. в этом случае импульсную систему можно рассматривать как непрерывную.

Рис. 12

дискретный импульсный цифровой астатизм Неравенство (32) является основным условием известной теоремы Котельникова. Поэтому часто говорят, что если период квантования импульсной системы удовлетворяет условиям теоремы Котельникова, то такую импульсную систему можно рассматривать как непрерывную с передаточной функцией .

Если же условие (32) не выполняется, то АЧХ дискретной системы (кривая 3 на рис. 12) на интервале частот от до существенно отличается от АЧХ приведенной непрерывной части. Следовательно, в этом случае квантование по времени переменных существенно сказывается на характере процессов системы и её необходимо анализировать как дискретную систему.

В дальнейшем будем предполагать, что условие (32) не выполняется, т. е. рассматриваемые системы должны исследоваться как дискретные.

Замечание. Если непрерывная часть системы полная, то степень знаменателя передаточной функции (21) должна быть равна степени знаменателя или размеру матрицы уравнений в переменных состояния (4) непрерывной части (т.е. без учета импульсного элемента). В этом случае характеристический полином замкнутой системы

(33)

где матрица, А определяется выражениями (13), (23) или (25), а передаточная функция — выражением (17) или другим эквивалентным ему.

Другими словами, если непрерывная часть системы полная, то характеристический полином замкнутой системы может быть найден как знаменатель любой передаточной функции исследуемой дискретной системы в замкнутом состоянии. Если же непрерывная часть импульсной системы не полная, то характеристический полином соответствующей дискретной системы может быть найден только по уравнениям в переменных состояния как .

Итак, математическая модель дискретной системы, как и непрерывной, может быть представлена либо в виде уравнений в переменных состояния (12), (26), (27), (28), (29), или же в виде уравнений вход-выход (15), или передаточных функций (17), (22) в разомкнутом или (17), (23) в замкнутом состоянии.

5. Решение уравнений дискретных систем Решения уравнений дискретных систем необходимы для исследования реакций этих систем на различные внешние воздействия при определенных начальных условиях.

Уравнения (12) или (30), по сути дела, являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют вычислить последовательно, рекуррентно значения как переменных состояния, так и выходной величины, соответствующие моментам времени. Рассмотрим эту возможность на численном примере. Пример 4. Найти при системы, уравнения которой имеют вид

(34)

Вектор начальных условий, а входное воздействие является единичной ступенчатой функцией, т. е. .

Решение. Полагая в (34), получим

так как. Аналогично при найдем, а

.

Далее при k=2, g₂=1, по-прежнему, а

.

Наконец,. Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго, что позволяет найти значения и при любых целых .

Если описанный в примере 4 процесс осуществить в символьной форме, то из (12) получим следующую последовательность:

Или Обобщая эти выражения, найдем следующие соотношения:

(35)

(36)

Формулы (35) и (36) определяют значения выходного сигнала импульсной системы в дискретные моменты времени. Ординаты, естественно, не дают значений внутри периода квантования. Поэтому, если необходимо определить значения системы, приведенной на рис. 10 внутри периодов при, можно использовать выражение Здесь — матрица и вектор из уравнения (4) непрерывной части данной дискретной системы.

Описанный рекуррентный метод может использоваться и для решения уравнений вход-выход дискретных систем. Соответствующие примеры приведены в [5, 25], поэтому здесь на этом мы останавливаться не будем.

Большим неудобством рассмотренного рекуррентного метода решения уравнений дискретных систем является то, что для получения любого, скажем, 10-го значения переменной необходимо вычислить все девять предыдущих значений .

Поэтому для определения реакций дискретных систем при больших значениях целесообразнее использовать метод z-преобра-зования. При этом может использоваться любая из приведенных выше моделей дискретной системы. Наиболее удобной из них является, конечно, уравнение вход-выход, записанное с помощью передаточной функции, т. е. равенство вида

. (38)

Подставляя в это выражение z-изображение заданного воздействия и передаточную функцию, получим z-изобра-жение искомой решетчатой функции.

Далее, как отмечалось выше, целесообразно вынести из числителя правой части z, а оставшуюся дробь разложить на сумму простейших дробей. Затем с помощью таблиц z-преобразования (см. приложение) найти оригинал — .

Пример 5. Найти реакцию системы (34) на линейное воздействие при нулевых начальных условиях и .

Решение. Так как уравнения (34) записаны в канонической управляемой форме (26), (27) при, то в соответствии с выражением (24) ее уравнение вход-выход имеет вид В соответствии с таблицей из приложения z-изображение заданного воздействия при определяется равенством

(39)

Следовательно, в рассматриваемом случае

(40)

Так как корни полинома комплексные, то дробь в квадратных скобках представим сначала в виде суммы:

(41)

Для определения коэффициентов запишем, следуя [5. С.110−113], систему Ее решение позволяет представить равенство (41) следующим образом:

. (42)

Имея в виду 3, 4, 8 и 9-ю строки таблицы из приложения при

,

приведем равенство (42) к виду

(43)

Z-изображению (43), в соответствии с указанной выше таблицей, соответствует решетчатая функция

(44)

Это равенство, очевидно, позволяет сразу найти реакцию системы (34) на воздействие в любой момент времени, кратный периоду квантования Т=1.

Отметим, что z-преобразование может применяться и для решения уравнений дискретных систем в переменных состояния типа (15) [5. С. 148−149]. В этом случае получаются аналитические выражения типа (44) как для переменных состояния, так и для выходных величин системы. Несомненно, в этом случае объем получаемой информации об исследуемой системе значительно выше, чем при решении уравнений вход-выход.

6. Устойчивость дискретных систем Необходимое и достаточное условие. Как и в непрерывном случае, устойчивость является важнейшим свойством дискретных систем. Исследование их устойчивости также осуществляется на основе характеристического уравнения. В общем случае оно определяется выражением (33) и имеет вид

. (45)

Здесь — порядок системы, — коэффициенты (обычно постоянные числа),. В соответствии с определением .

С другой стороны, условие устойчивости на плоскости комплексного переменного p, как известно, имеет вид

где — корни характеристического уравнения исследуемой непрерывной системы. Соответствующие корни характеристического уравнения (29) дискретной системы располагаются на комплексной плоскости и равны

.

Как видно, реальная часть корней характеристического уравнения влияет лишь на модуль корней на плоскости, так как причем непрерывная система устойчива, если .

Отсюда следует, что на плоскости условие устойчивости динамических систем имеет вид

. (46)

Геометрически это условие означает, что на комплексной плоскости z все корни характеристического уравнения (45) устойчивой дискретной системы располагаются в круге единичного радиуса (на рис. 13 этот круг заштрихован).

Пример 6. Исследовать устойчивость системы с характеристическим полиномом .

Решение. Корни заданного полинома, очевидно, равны. Их модули. Следовательно, рассматриваемая дискретная система является устойчивой.

Рис. 13

Критерий Шура-Кона. Для исследования устойчивости дискретных систем по коэффициентам характеристического уравнения (45) применяется специальный критерий, с помощью которого проверяется выполнимость условия (46). Этот критерий называется критерием Шура-Кона. Если некоторый полином (45) удовлетворяет этому критерию, то все его корни по модулю меньше единицы.

Для применения критерия Шура-Кона сначала необходимо из коэффициентов характеристического полинома (45) исследуемой системы составить табл. 2.

Таблица 2

Как видно, в первую строку таблицы Шура-Кона выписываются подряд коэффициенты заданного полинома, начиная с младшего. Во вторую строку вписываются те же коэффициенты, но в обратном порядке. Следующая строка вычисляется в соответствии с правилом заполнения третей и последующих строк таблицы Рауса (см. § 4.5). Затем полученные коэффициенты вписываются в следующую строку, но в обратном порядке. Далее описанный процесс повторяется до получения коэффициента .

После заполнения таблицы Шура-Кона применяется собственно критерий Шура-Кона, который формулируется следующим образом.

Критерий Шура-Кона. Если все коэффициенты, то дискретная система с заданным характеристическим полиномом (45) асимптотически устойчива.

Пример 7. Исследовать с помощью критерия Шура-Кона устойчивость дискретной системы с характеристическим полиномом .

Решение. Составим сначала таблицу Шура-Кона. Результаты вычислений для данного примера (табл. 3) свидетельствуют, что все. Следовательно, рассматриваемая система устойчива.

Таблица 3

Применение критерия Гурвица. Критерий Шура-Кона является численным критерием. Для решения же задач синтеза систем или для исследования влияния параметров на свойства систем целесообразно применять аналитические методы. К таким методам относится, например, критерий Гурвица. Однако для того, чтобы иметь возможность применить его к исследованию дискретных систем, необходимо сначала провести замену переменной в уравнении (45) по формуле

(47)

где — комплексная переменная. Условие устойчивости на плоскости имеет вид, что и позволяет применить к полиному относительно переменной критерий Гурвица.

Критерий Гурвица. Если характеристический полином преобразован к, и последний удовлетворяет критерию Гурвица, то дискретная система с данным полиномом асимптотически устойчива. В противном случае она является неустойчивой.

Пример 8. Исследовать устойчивость дискретной системы с характеристическим полиномом .

Решение. Выполняя замену согласно (47), получим

.

Отсюда

Так как все коэффициенты полученного полинома положительные, а его степень равна двум, то по критерию Гурвица рассматриваемая дискретная система устойчива, т. е. корни её характеристического полинома удовлетворяют условию (46).

В частности, критерий Гурвица позволяет найти критические по устойчивости значения параметров дискретных систем.

7. Условия конечной длительности переходных процессов дискретных систем Показатели качества дискретных (естественно, устойчивых) систем и методы их исследования практически полностью аналогичны случаю непрерывных систем. Это касается управляемости, наблюдаемости, астатизма, показателей качества в переходном и установившемся режимах. Поэтому методы исследования управляемости, наблюдаемости и определения показателей качества дискретных систем здесь не рассматриваются.

Рассмотрим лишь отличительные особенности переходных процессов и условий астатизма дискретных систем. Одной из них является существование дискретных систем с переходными процессами конечной длительности. В таких системах переходный процесс длится ровно n периодов квантования, где n — порядок системы.

Условия конечной длительности переходного процесса определяются следующей теоремой.

Теорема. Если знаменатель передаточной функции дискретной системы по некоторому воздействию равен, т. е.

(48)

то переходный процесс данной системы по этому воздействию длится ровно n периодов квантования T по времени.

Пример 9. Найти длительность переходного процесса дискретной системы с передаточной функцией при и нулевых начальных условиях.

Решение. Воспользуемся рекуррентным методом решения разностных уравнений. В данном случае это уравнение имеет вид

.

Разделим обе части уравнения на и перейдем к оригиналам. В результате получим

.

Полагая последовательно в этом выражении, будем иметь

Как видно, в полном соответствии с условием (48), через три такта выходная переменная принимает установившееся значение 0.9, т. е. переходный процесс длится ровно три периода квантования по времени. При этом предыдущие значения выходной переменной не влияют на ее последующие значения ни при каком .

Условие (48) приведенной теоремы, при котором обеспечивается конечная длительность переходных процессов дискретных систем, часто применяется при создании систем управления с заданной длительностью времени регулирования.

Иногда такие системы называются оптимальными по быстродействию.

8. Астатизм дискретных систем Свойство астатизма дискретных систем, как отмечалось выше, аналогично свойству астатизма непрерывных систем. Однако имеется ряд особенностей, обусловленных квантованием переменных по времени.

Определение. Астатической называют дискретную систему, статическая ошибка которой равна нулю при всех, где — время регулирования дискретной системы. В противном случае дискретную систему называют статической.

Приведенному определению удовлетворяют два типа дискретных систем. У систем первого типа ошибка при постоянном входном воздействии равна нулю как в моменты времени, кратные периоду квантования T, так и во все остальные. В то же время у астатических систем второго типа ошибка при постоянном входном воздействии равна нулю только в моменты времени, кратные периоду квантования T, а во все остальные моменты ошибка не является нулевой.

Эти свойства дискретных систем связаны с различными способами обеспечения математических условий астатизма, которые присущи дискретным системам.

Астатические дискретные системы могут иметь астатизм различных порядков. Свойство астатизма и его порядок в случае дискретных систем, как и в непрерывном случае, можно оценивать либо по заданной структурной схеме, либо по передаточной функции по ошибке, либо по передаточной функции системы в разомкнутом состоянии, либо по передаточной функции системы в замкнутом состоянии .

Признаки астатизма дискретных систем по. Изображение сигнала ошибки, вызванной, например, воздействием, можно записать следующим образом:

(49)

где — передаточная функция системы по ошибке, вызванной воздействием .

Подчеркнем, что ошибки систем определяются лишь для устойчивых систем управления, поэтому знаменатель передаточной функции всегда не содержит полюсов по модулю больших или равных единице.

Так как свойство астатизма определяется величиной статической ошибки, т. е. при постоянном воздействии, то можно полагать, что

. (50)

Поэтому из (49) и (50) выводим

. (51)

Из этого равенства и свойств z-преобразования следует вывод: для того, чтобы вызванная воздействием ошибка дискретной системы не содержала постоянной составляющей, достаточно, чтобы соответствующая передаточная функция по ошибке содержала в качестве множителя двучлен, т. е.

(52)

где — некоторая дробь, соответствующая устойчивой дискретной системе (т.е. не имеющая полюсов по модулю больших и равных единице).

При выполнении условия (52) из (51) выводим

.

Применяя к этому выражению теорему о предельном значении [5. С. 142], получим с учетом указанного выше свойства полюсов :

.

Итак, если условие (52) выполнено, то дискретная система является астатической. Поэтому равенство (52) является выраженным через передаточную функцию по ошибке признаком астатизма дискретных систем по некоторому воздействию .

Признаки астатизма дискретных систем по. Формы данных признаков зависят от типа системы, от вида обратной связи и от того является ли рассматриваемое воздействие задающим или возмущающим. Рассмотрим здесь случаи, когда система является системой стабилизации, программного управления или следящей, а обратная связь является единичной и отрицательной, т. е. те случаи, когда передаточная функция по ошибке, обусловленной задающим воздействием, определяется выражением

(53)

а передаточная функция по ошибке, обусловленной возмущением, выражением

где — передаточная функция разомкнутой дискретной системы со входа на выход .

Нетрудно видеть, что в этом случае по отношению к задающему воздействию условие (52) выполняется, если

(54)

где — некоторые полиномы, причем .

Приведенное выражение (54) является выраженным через передаточную функцию признаком астатизма дискретных систем по задающему воздействию .

В случае импульсных систем передаточная функция будет иметь вид (54), если приведенная непрерывная часть системы содержит хотя бы один чистый интегратор. В этом случае её структурную схему можно представить, как показано на рис.

В установившемся режиме ошибка таких систем, вызванная постоянным задающим воздействием (т.е. вынужденная составляющая ошибки), будет равна нулю (рис. 15) во все моменты времени как кратные периоду квантования T, так и нет.

Рис. 14

Условие (54) можно выполнить и при отсутствии интегратора в непрерывной части системы, включив операцию суммирования в алгоритм работы ЦВМ, вычисляющей управляющее воздействие в каждом периоде квантования. Однако в этом случае ошибка только при, а при ошибка системы .

Рис.15

При включении операции суммирования в алгоритм работы ЦВМ для оценки реальной ошибки системы управления непрерывным объектом необходимо в обязательном порядке проводить моделирование системы. При этом непрерывная часть может моделироваться либо непрерывными моделирующими установками, либо с помощью ЦВМ, но путем интегрирования непрерывных дифференциальных уравнений объекта. Дискретная часть системы может моделироваться по разностным уравнениям.

По отношению к возмущениям, приложенным к непрерывной части дискретной системы, условия астатизма имеют тот же вид, что и в непрерывном случае: непрерывная часть дискретной системы между своим входом и точкой приложения возмущения должна содержать чистый интегратор.

Признаки астатизма дискретных систем по. Ограничимся здесь случаем задающего воздействия и предположим, что передаточная функция некоторой устойчивой дискретной системы по этому воздействию представлена в виде

. (55)

Условие астатизма рассматриваемой системы по задающему воздействию имеет вид

. (56)

Данное условие автоматически выполняется при наличии интегратора в непрерывной части системы и отрицательной единичной обратной связи, как показано на рис.

Если же непрерывная часть не содержит интегратора, то условие (56) может быть реализовано либо путем введения интегратора в непрерывную часть, либо путем введения сумматора в дискретную часть системы. В зависимости от принятого способа реализации условия (56) сигнал ошибки системы будет обладать указанными выше свойствами.

Условие астатизмаго порядка. Система обладает астатизмомго порядка по отношению к некоторому полиномиальному воздействию, если её ошибка, вызванная этим воздействием степени [5. С. 71], равна нулю, а ошибка, вызванная полиномиальным воздействием степени, не равна нулю, но постоянна по величине.

Приведенное выше определение астатической системы, очевидно, соответствует случаю астатизма первого порядка, а определение статической системы — случаю астатизма нулевого порядка.

Полностью повторяя рассуждения и выкладки, проведенные при выводе условия (52), можно установить, что условие астатизмаго порядка в случае дискретных систем управления имеет вид

(57)

где — также некоторая рациональная дробь, знаменатель которой имеет нули по модулю строго меньшие единицы.

Условие (57) также может быть обеспечено либо введением чистых интеграторов в непрерывную часть системы, либо путем введения сумматоров в дискретную часть системы, либо различной комбинацией тех и других элементов. При этом ошибка системы, вызванная полиномиальным воздействиемой степени, будет постоянной, а воздействием (-1)-ой степени и ниже — нулевой. В зависимости от способа реализации условия (57) ошибка системы будет нулевой или постоянной либо во все моменты (если в системе имеется чистых интеграторов), либо только в дискретные моменты времени в противном случае.

Литература

Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и упражнения. — М.: Эксмо, 2006

Ж.А. Черняк, А. А. Черняк, О. А. Феденя и др.; под общ. ред. Ж. А. Черняк: Контрольные задания по общему курсу высшей математики. — СПб.: Питер, 2006

Икрамов Х.Д.: Задачник по линейной алгебре. — СПб.: Лань, 2006

Кундышева Е.С.: Математика. — М.: Дашков и К, 2006

Под общ. ред. Ж. А. Черняк, А. А. Черняк.: Контрольные задания по общему курсу высшей математики. — СПб: Питер, 2006

под ред. Н. Ш. Кремера; рец.: Каф. математики Финансовой акад. при Правительстве РФ, В. З. Партон: Высшая математика для экономистов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006

Федеральное агентство по образованию, БелГУ; под ред. Е. В. Головановой; рец.: С. А. Гриценко, Н. И. Москаленко: Практикум по математике. — Белгород: БелГУ, 2006

Черноморец А.А.: Вычислительная математика. — Белгород: БелГУ, 2006

Шипачев В.С.: Задачник по высшей математике. — М.: Высшая школа, 2006

Ефимов Н.В.: Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: Физматлит, 2005

Ильин В.А.: Линейная алгебра. — М.: Физматлит, 2005

Кетков Ю.Л.: MATLAB 7: программирование, численные методы. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005

Клименко Ю.И.: Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи. — М.: Экзамен, 2005

Красс М.С.: Математика для экономистов. — СПб.: Питер, 2005

Литвинов А.Л.: Математика. — Белгород: БелГУ, 2005

Под ред. В. И. Ермакова: Сборник задач по высшей математике для экономистов. — М.: ИНФРА-М, 2005

Проскуряков И.В.: Сборник задач по линейной алгебре. — М.: БИНОМ, 2005

Артин Э.: Теория Галуа. — М.: МЦНМО, 2004

Беклемишева Л.А.: Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. — М.: Физматлит, 2004

Виленкин И.В.: Высшая математика. — Ростов н/Д: Феникс, 2004

Волков Е.А.: Численные методы. — СПб.: Лань, 2004

Воронов М.В.: Высшая математика для экономистов и менеджеров. — Ростов н/Д: Феникс, 2004